Nel seguito riportiamo le formule necessarie per il calcolo di area, momenti statici e momenti di inerzia di sezioni sottili con spessore costante $t$.

Si consideri una sezione rettilinea sottile in cui:

• $t$ è la dimensione minore della sezione
• $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ sono le coordinate dei due estremi della sezione
• $\Delta x = x_2 - x_1$ $\Delta y = y_2 - y_1$ sono rispettivament la differenza
• $l = \sqrt{\Delta x ^2 + \Delta y ^2}$ è la lunghezza della sezione

L'area della sezione è data da

$$A = \iint \limits_{S} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} t \; \mathrm{d}s = t \, l \int \limits_{0}^{1} \mathrm{d}\xi = t \, l$$

I momenti del primo ordine (momenti statici) sono dati da

$$S_y = \iint \limits_{S} x \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s) \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right) \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( x_1 + \frac{\Delta x}{2} \right)$$

$$S_x = \iint \limits_{A} y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int \limits_{0}^{l} y(s) \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right) \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( y_1 + \frac{\Delta y}{2} \right)$$

I momenti del second'ordine (momenti di inerzia) sono dati da

$$I_{yy} = \iint \limits_{S} x^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s)^2 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right)^2 \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( x_1^2 + x_1 \cdot \Delta x + \frac{\Delta x^2}{3} \right)$$

$$I_{xx} = \iint \limits_{S} y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} y(s)^2 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right)^2 \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( y_1^2 + y_1 \cdot \Delta y + \frac{\Delta y^2}{3} \right)$$

$$I_{xy} = \iint \limits_{S} x \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s) \, y(s) \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right) \left( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right) \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( x_1 \cdot y_1 + \frac{x_1 \cdot \Delta y + y_1 \cdot \Delta x}{2} + \frac{\Delta x \cdot \Delta y}{3} \right)$$

I momenti del terzo ordine sono invece

$$\iint \limits_{S} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s)^3 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right)^3 \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( x_1^3 + \frac{3}{2} x_1^2 \, \Delta x + x_1 \, \Delta x ^2 + \frac{\Delta x^3}{4} \right)$$

$$\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} y(s)^3 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right)^3 \; \mathrm{d}\xi = t \, l \left( y_1^3 + \frac{3}{2} y_1^2 \, \Delta y + y_1 \, \Delta y ^2 + \frac{\Delta y^3}{4} \right)$$

$$\iint \limits_{S} x y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s) y(s)^2 \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right) \left( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right)^2 \; \mathrm{d}\xi = \, $$ $$ \, = t \, l \left( x_1 \, y_1^2 + x_1 \, y_1 \, \Delta y + \frac{1}{3} x_1 \, \Delta y ^2 + \frac{1}{2} y_1^2 \, \Delta x + \frac{2}{3} y_1 \, \Delta x \, \Delta y + \frac{1}{4} \Delta x \, \Delta y ^2\right)$$

$$\iint \limits_{S} x^2 y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{0}^{l} x(s)^2 y(s) \, t \; \mathrm{d}s = t \int \limits_{0}^{1} \left ( x_1 + \Delta x \cdot \xi \right)^2 \left( y_1 + \Delta y \cdot \xi \right) \; \mathrm{d}\xi = \, $$ $$ \, = t \, l \left( x_1^2 \, y_1 + x_1 \, y_1 \, \Delta x + \frac{1}{3} y_1 \, \Delta x ^2 + \frac{1}{2} x_1^2 \, \Delta y + \frac{2}{3} x_1 \, \Delta x \, \Delta y + \frac{1}{4} \Delta x^2 \, \Delta y \right)$$

Detta $\alpha$ l'inclinazione della dimensione maggiore rispetto all'asse $x$, i momenti d'inerzia baricentrici possono essere calcolati più semplicemente mediante le formule

$$I_{G,xx} = \frac{1}{12} t l^3 sin^2 \alpha$$

$$I_{G,yy} = \frac{1}{12} t l^3 cos^2 \alpha$$

$$I_{G,xy} = \frac{1}{12} t l^3 \sin \alpha \cos \alpha$$

Si consideri una sezione sottile costituita da un arco di circonferenza in cui

• $R$ è il raggio dell'arco di cerchio
• $t$ è lo spessore della sezione
• $\alpha_i$ è l'angolo iniziale dell'arco, formato dal raggio iniziale e dall'asse X
• $\alpha_f$ è l'angolo finale dell'arco, formato dal raggio finale e dall'asse X
• $\Delta \alpha = \alpha_f - \alpha_i$ è l'angolo al centro su cui insiste l'arco

L'area della sezione è data da

$$A = \iint \limits_{S} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} t \, R \; \mathrm{d}\alpha = t \, R \, \Delta \alpha$$

I momenti del primo ordine sono dati da

$$S_{y} = \iint \limits_{S} x \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{c} + R \, \cos \alpha \right) t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \left[ x_{C} \Delta \, \alpha + R \, \left( \sin \alpha_{f} - \sin \alpha_{i} \right) \right]$$

$$S_{x} = \iint \limits_{S} y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( y_{c} + R \, \sin \alpha \right) t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \left[ y_{C} \Delta \, \alpha - R \, \left( \cos \alpha_{f} - \cos \alpha_{i} \right) \right]$$

I momenti del second'ordine sono dati da

$$I_{yy} = \iint \limits_{S} x^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right)^2 t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \left[ x_C^2 \Delta \alpha + 2 x_C \, R \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + R^2 \left( \frac{ \Delta \alpha }{2} + \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) \right]$$

$$I_{xx} = \iint \limits_{S} y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right)^2 t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \left[ y_c^2 \Delta \alpha - 2 R \, y_C \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i \right) + R^2 \left( \frac{ \Delta \alpha }{2} - \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) \right] $$

$$I_{xy} = \iint \limits_{S} x \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right) \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right) \, t \, R \; \mathrm{d} \alpha = \, $$ $$ \, = t \, R \left[ x_C \, y_C \Delta \alpha - 2 R \, x_C \left( \cos \alpha_f - \sin \alpha_f \right) + 2 R \, y_C \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) - R^2 \frac{\cos 2 \alpha_f - \cos 2 \alpha_i }{4} \right]$$

I momenti del terz'ordine infine possono essere calcolati mediante

$$\iint \limits_{S} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right)^3 t \, R \; \mathrm{d} \alpha = \,$$ $$\, = t \, R \left[ x_{C}^3 \Delta \alpha + 3 x_{C}^2 R \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + 3 x_{C} \, R^2 \left( \frac{\Delta \alpha}{2} + \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) + R^3 \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i - \frac{\sin^3 \alpha_f - \sin^3 \alpha_i }{3} \right) \right] $$

$$\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( y_{c} + R \, \sin \alpha \right)^3 t \, R \; \mathrm{d} \alpha \,$$ $$\, = t \, R \left[ y_{C}^3 \Delta \alpha - 3 y_{C}^2 R \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i \right) + 3 y_{C} \, R^2 \left( \frac{\Delta \alpha}{2} - \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) - R^3 \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i - \frac{\cos^3 \alpha_f - \cos^3 \alpha_i }{3} \right) \right] $$

$$\iint \limits_{S} x \, y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right) \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right)^2 t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right) \left( y_{C}^2 + 2 y_{C} \, R \, \sin \alpha + R^2 \, \sin^2 \alpha \right)\; \mathrm{d} \alpha = \,$$ $$\, = t \, R \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} \, y_{C}^2 + 2 R \, x_{C} \, y_{C} \, \sin \alpha + R^2 \, x_{C} \, \sin^2 \alpha + R \, y_{C}^2 \, \cos \alpha + 2 y_{C} \, R^2 \, \sin \alpha \, \cos \alpha + R^3 \, \sin^2 \alpha \, \cos \alpha \right)\; \mathrm{d} \alpha $$ $$\, = t \, R \left[ x_{C} \, y_{C}^2 \Delta \alpha - 2 R \, x_{C} \, y_{C} \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i \right) + R^2 \, x_{C} \left( \frac{\Delta \alpha}{2} - \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) + R \, y_{C}^2 \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + y_{C} \, R^2 \left( \sin^2 \alpha_f - \sin^2 \alpha_i \right) + \frac{R^3}{3} \left( \sin^3 \alpha_f - \sin^3 \alpha_i \right) \right] $$

$$\iint \limits_{S} x^2 \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y \approx \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C} + R \, \cos \alpha \right)^2 \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right) \, t \, R \; \mathrm{d} \alpha = t \, R \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C}^2 + 2 R \, x_{C} \, \cos \alpha + R^2 \, \cos^2 \alpha \right) \left( y_{C} + R \, \sin \alpha \right) \; \mathrm{d} \alpha = \,$$ $$\, = t \, R \int \limits_{\alpha i}^{\alpha f} \left( x_{C}^2 \, y_{C} + 2 R \, x_{C} \, y_{C} \, \cos \alpha + R^2 \, y_{C} \, \cos^2 \alpha + R \, x_{C}^2 \sin \alpha + 2 R^2 \, x_{C} \, \sin \alpha \, \cos \alpha + R^3 \, \sin \alpha \, \cos^2 \alpha \right) \; \mathrm{d} \alpha $$ $$\, = t \, R \left[ x_{C}^2 \, y_{C} \Delta \alpha + 2 R \, x_{C} \, y_{C} \left( \sin \alpha_f - \sin \alpha_i \right) + R^2 \, y_{C} \left( \frac{\Delta \alpha }{2} + \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i }{4} \right) - R \, x_{C}^2 \left( \cos \alpha_f - \cos \alpha_i \right) + R^2 \, x_{C} \left( \sin^2 \alpha_f - \sin^2 \alpha_i \right) - \frac{R^3}{3} \left( \cos^3 \alpha_f - \cos^3 \alpha_i \right) \right] $$

Supponendo che il centro dell'arco coincida con l'origine del sistema di riferimento, le formule si semplificano

$$S_x = - t \, R^2 (\cos \alpha_f - \cos \alpha_i)$$

$$S_y = t \, R^2 (\sin \alpha_f - \sin \alpha_i)$$

$$I_{xx} = t \, R^3 \left( \frac{\Delta \alpha}{2} - \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i}{4} \right)$$

$$I_{yy} = t \, R^3 \left( \frac{\Delta \alpha}{2} + \frac{\sin 2 \alpha_f - \sin 2 \alpha_i}{4} \right)$$

$$I_{xy} = - t \, R^3 \frac { cos 2 \alpha_f - cos 2 \alpha_i }{4} $$