Il wiki di IngegneriaLibera

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====== Formule applicative Geometria delle Aree: sezioni compatte ======

===== Sezione rettangolare =====

Si consideri una sezione rettangolare di base $b$ e altezza $h$. Ovviamente l'area è data dalla relazione

$$A= b \cdot h$$

Ponendo l'origine del sistema di riferimento nel baricentro del rettangolo, e orientando l'asse $x$ parallelamente alla base, abbiamo che

$$I_{G,xx} = \frac{b \, h^3}{12}$$
$$I_{G,yy} = \frac{b^3 \, h}{12}$$
$$I_{G,xy} = 0$$


===== Settore di corona circolare =====

Si consideri una corona circolare di raggio esterno $R_e$ e raggio interno $R_i$. Di tale corona analizziamo il settore delimitato dai due raggi individuati dagli angoli $\alpha_i$ e $\alpha_f$ fromati con l'asse y.

Poniamo l'origine del nostro sistema di riferimento nel centro della corona circolare.

Per comodità di notazione poniamo inoltre

$$ \Delta \alpha = \alpha_f - \alpha_i$$

Abbiamo quindi

$$A = \frac{\Delta \alpha}{2} \left( R_e^2 - R_i^2 \right)$$

$$S_x = - \frac{\cos \alpha_f - \cos \alpha_i}{3} \left( R_e^3 - R_i^3 \right)$$

$$S_y = \frac{\sin \alpha_f - \sin \alpha_i}{3} \left( R_e^3 - R_i^3 \right)$$

$$I_{xx} = \left[ \frac{\Delta \alpha}{2} - \frac{\sin(2\alpha_f) - \sin(2\alpha_i) }{4} \right] \frac{R_e^4 - R_i^4}{4}$$

$$I_{yy} = \left[ \frac{\Delta \alpha}{2} + \frac{\sin(2\alpha_f) - \sin(2\alpha_i) }{4} \right] \frac{R_e^4 - R_i^4}{4}$$

$$I_{xy} = - \frac{\cos(2\alpha_f) - \cos(2\alpha_i) }{4} \frac{R_e^4 - R_i^4}{4}$$

Nel caso la nostra sezione sia un cerchio di raggio $r$ o diametro $d$, le formule appena viste diventano

$$A = \pi r^2 = \pi \frac{d^2}{4}$$

$$I_{xx} = I_{yy} = \pi \frac{r^4}{4} = \pi \frac{d^4}{64}$$

$$S_{x} = S_{y} = I_{xy} = 0$$

==== Poligonale chiusa ====

Consideriamo una sezione racchiusa dai segmenti congiungenti i punti $P_i$ ci coordinate $\left(x_i, y_i \right)$. Facciamo, per comodità di calcolo, le seguenti posizioni

$$\Delta x_i = x_{i+1} - x_{i}$$

$$\Delta y_i = y_{i+1} - y_{i}$$

Sotto tali ipotesi abbiamo

$$A = \sum \limits_i A_{i}$$

$$S_y = \sum \limits_i S_{y,i}$$

$$S_x = \sum \limits_i S_{x,i}$$

$$I_{yy} = \sum \limits_i I_{yy,i}$$

$$I_{xx} = \sum \limits_i I_{xx,i}$$

$$I_{xy} = \sum \limits_i I_{xy,i}$$

$$\iint \limits_{S} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \sum \limits_i \iint \limits_{Si} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$

$$\iint \limits_{S} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \sum \limits_i \iint \limits_{Si} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$

$$\iint \limits_{S} x^2\, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \sum \limits_i \iint \limits_{Si} x^2 \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$

$$\iint \limits_{S} x\, y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \sum \limits_i \iint \limits_{Si} x \, y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$

Dobbiamo calcolare gli integrali sopra riportati in tutti i tratti $i$; per farlo osserviamo che sono integrali del tipo

$$\iint \limits_S x^\alpha y^\beta \; \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int \limits_{x1}^{x2} x^ \alpha \left( \int \limits_{0}^{y(x)} y^\beta \; \mathrm{d}y\right) \; \mathrm{d}x $$

Sostituiamo la variabile $x$ con la variabile $\xi = \left( x - x_i \right) / \Delta x_i \rightarrow x = x_i + \Delta x_i \, \xi$ con $0 \le \xi \le 1 $.

L'integrale diventa

$$\int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right)^\alpha \left( \int \limits_{0}^{y_i + \Delta y_i \, \xi} y^\beta \; \mathrm{d}y\right) \Delta x_i \; \mathrm{d}\xi = \frac{\Delta x_i }{\beta + 1} \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right)^\alpha \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^{\beta + 1} \, \; \mathrm{d}\xi $$

L'area della porzione i-esima è data da

$$ \begin{align}
A_i & = \iint \limits_{Si} \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \Delta x_i \int \limits_{0}^{1} \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right) \; \mathrm{d} \xi = \\
& = \Delta x_i \left( y_i + \frac{\Delta y_i}{2} \right) \\
& = \frac{ x_{i+1} - x_{i} }{2} \left( y_{i+1} + y_{i} \right)
\end{align} $$

I momenti statici sono dati da

$$ \begin{align}
S_{y,i} & = \iint \limits_{Si} x \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y =  \Delta x_i \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \xi \right) \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right) \; \mathrm{d} \xi = \\
& = \Delta x_i \left( x_i \, y_i + \frac{x_i \, \Delta y_i + y_i \, \Delta x_i}{2} + \frac{\Delta x_i \, \Delta y_i }{3} \right)  = \\
& = \frac{x_{i+1} - x_{i}}{6} \left[ x_i \left( 2 y_i + y_{i+1} \right) + x_{i+1} \left( y_i + 2 y_{i+1} \right) \right]
\end{align} $$

$$ \begin{align}
S_{x,i} & = \iint \limits_{Si} y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{\Delta x_i}{2} \int \limits_{0}^{1} \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^2 \; \mathrm{d} \xi = \\
& = \frac{\Delta x_{i}}{2} \left( y_i^2 + y_i \, \Delta y_i + \frac{\Delta y_i^2 }{3} \right) \\
& = \frac{x_{i+1} - x_i}{6} \left( y_{i+1}^2+y_{i+1} \cdot y_{i} + y_{i}^2 \right)
\end{align} $$

I momenti di inerzia 

$$\begin{align}
I_{yy,i} & = \iint \limits_{Si} x^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \Delta x_i  \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \xi \right)^2 \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right) \; \mathrm{d} \xi = \\
& = \Delta x_i \left( x_i^2 \, y_i + x_i \, y_i \, \Delta x_i + \frac{y_i \, \Delta x_i^2}{3} + \frac{x_i^2 \, \Delta y_i}{2} + \frac{2 x_i \, \Delta x_i \, \Delta y_i }{3} + \frac{\Delta x_i^2 \Delta y_i}{4} \right) = \\
& = \frac{x_{i+1} - x_i}{12} \left[ x_i^2 \left( 3 y_i + y_{i+1} \right) + 2 x_i \, x_{i+1} \left( y_i + y_{i+1} \right) + x_{i+1}^2 \left( y_i + 3 y_{i+1} \right) \right]
\end{align}$$

$$\begin{align}
I_{xx,i} & = \iint \limits_{Si} y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{\Delta x_i }{3} \int \limits_{0}^{1} \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^3 \; \mathrm{d} \xi = \\
& = \frac{\Delta x_i}{3} \left( y_i^3 + \frac{3}{2} y_i^2 \, \Delta y_i + y_i \, \Delta y_i^2 + \frac{\Delta y_i^3 }{4} \right) = \\
& = \frac{x_{i+1} - x_i}{12} \left( y_{i+1}^3 + y_{i+1}^2 y_i + y_{i+1} y_{i}^2 + y_{i}^3  \right) 
\end{align}$$

$$ \begin{align}
I_{xy,i} & = \iint \limits_{Si} x \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{ \Delta x_i}{2} \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \xi \right) \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^2 \; \mathrm{d} \xi = \\
& = \frac{\Delta x_i}{2} \left( x_i \, y_i^2 + x_i \, y_i \, \Delta y_i + \frac{x_i \, \Delta y_i^2}{3} + \frac{y_i^2 \, \Delta x_i}{2} + \frac{2 y_i \, \Delta x_i \, \Delta y_i}{3} + \frac{\Delta x_i \, \Delta y_i^2}{4} \right) = \\
& = \frac{x_{i+1} - x_i}{24} \left[ y_{i}^2 \left( 3x_{i} + x_{i+1} \right) + 2 y_{i} y_{i+1} \left(x_{i} + x_{i+1} \right) + y_{i+1}^2 \left( 3 x_{i+1} + x_{i} \right) \right]
\end{align}$$


E infine i momenti del terzo ordine

$$ \begin{align}
\iint \limits_{Si} x^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \Delta x_i \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right)^3 \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right) \; \mathrm{d} \xi = \\
& = \Delta x_{i} \left( x_i^3 \, y_i + \frac{3 x_i^2 \, y_i \, \Delta x_i }{2} + x_i \, y_i \, \Delta x_i ^2 + \frac{y_i \, \Delta x_i^3}{4} + \frac{x_i^3 \, \Delta y_i }{2} + x_i^2 \, \Delta x_i \Delta y_i + \frac{3 \Delta x_i^2 \, \Delta y_i}{4} + \frac{\Delta x_i^3 \, \Delta y_i}{5} \right) = \\
& = \frac{x_{i+1} - x_i}{20} \left[ x_i^2 \, x_{i+1} \left( 3 y_{i} + 2 y_{i+1} \right) + x_i^3 \left( y_{i+1} + 4 y_{i} \right) + x_{i+1}^3 \left( 4 y_{i+1} + y_i \right) + x_{i} \, x_{i+1}^2 \left( 3 y_{i+1} + 2 y_{i} \right) \right]
\end{align} $$

$$ \begin{align}
\iint \limits_{Si} y^3 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \frac{\Delta x_i }{4} \int \limits_{0}^{1} \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^4 \; \mathrm{d} \xi = \\
& = \frac{\Delta x_i }{4} \left( y_i^4 + 2 y_i^3 \, \Delta y_i + 2 y_i^2 \, \Delta y_i^2 + y_i \, \Delta y_i^3 + \frac{\Delta y_i^4}{3} \right) = \\
& = \frac{x_{i+1} - x_i}{20} \left( y_{i+1}^4 + y_{i+1}^3 y_{i} + y_{i+1}^2 y_{i}^2 + y_{i+1} y_{i}^3 + y_{i}^4  \right)
\end{align} $$

$$ \begin{align}
\iint \limits_{Si} x^2 \, y \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \frac{\Delta x_i}{2} \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right)^2 \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^2 \; \mathrm{d} \xi = \\
& = \frac{\Delta x_i}{2} \left( x_i^2 \, y_i^2 + x_i \, y_i^2 \, \Delta x_i + \frac{y_i^2 \, \Delta x_i }{3} + x_i^2 \, y_i \, \Delta y_i + \frac{4 x_i \, y_i \, \Delta x_i \Delta y_i }{3} + \frac{y_i \, \Delta x_i^2 \, \Delta y_i }{2} + \frac{x_i^2 \, \Delta y_i^2}{3} + \frac{x_i \, \Delta x_i \, \Delta y_i^2 }{2} + \frac{\Delta x_i^2 \, \Delta y_i^2 }{5} \right) = \\
& = \frac{x_{i+1} - x_i}{60} \left[ x_i^2 \left( 6 y_{i}^2 + 3 y_i \, y_{i+1} + y_{i+1}^2 \right) + x_i \, x_{i+1} \left( 3  y_i^2 + 4 y_i \, y_{i+1} + 3 y_{i+1}^2  \right) + x_{i+1}^2 \left( 6 y_{i+1}^2 + 3 y_i \, y_{i+1} + y_i^2 \right) \right]
\end{align} $$

$$ \begin{align}
\iint \limits_{Si} x \, y^2 \; \mathrm{d}x \mathrm{d}y & = \frac{\Delta x_i}{3} \int \limits_{0}^{1} \left( x_i + \Delta x_i \, \xi \right) \left( y_i + \Delta y_i \, \xi \right)^3 \; \mathrm{d} \xi = \\
& = \frac{\Delta x_i}{3} \left( y_i^3 \, x_i + \frac{3 \Delta y_i \, x_i \, y_i^2}{2} + y_i^2 \Delta x_i \, \Delta y_i + \frac{y_i^3 \, \Delta x_i }{2} + \Delta y_i^2 \, x_i \, y_i + \frac{3 y_i \, \Delta x_i \, \Delta y_i^2}{4} + \frac{\Delta x_i \, \Delta y_i^3}{5} + \frac{x_i \, \Delta y_i^3}{4} \right) = \\
& = \frac{x_{i+1} - x_i}{60} \left[ y_i^3 \left( 4 x_i + x_{i+1} \right) + y_{i+1}^3 \left( x_i + 4 x_{i+1} \right) + y_i^2 \, y_{i+1} \left( 3 x_i + 2 x_{i+1} \right)  + y_i \, y_{i+1}^2 \left( 2 x_i + 3 x_{i+1} \right) \right]
\end{align} $$
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