Sia $\mathbf{r}$ il vettore posizione di un punto $P$ di una figura geometrica. Il vettore $\mathbf{r}$ è definito

$$\mathbf{r} = \left( \begin{matrix} y \\\\ z \end{matrix} \right)$$

Se trasliamo il sistema di riferimento secondo il vettore $\mathbf{r_0}$, il vettore posizione $\mathbf{r^\prime}$ nel nuovo sistema di riferimento sarà dato da

$$ \mathbf{r^\nearrow} = \mathbf{r} - \mathbf{r_0} = \left( \begin{matrix} y \\\\ z \end{matrix} \right) - \left( \begin{matrix} y_0 \\\\ z_0 \end{matrix} \right)$$

Nel caso invece di rotazione del sistema di riferimento di un angolo <m>theta</m>, con analoga notazione abbiamo

$$ \mathbf{r^\odot} = \mathbf{N} \, \mathbf{r}$$

in cui

$$ \mathbf{N} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\\\ - \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$$

è chiamata matrice di rotazione.

Definiamo area di una porzione del piano $S$ l'integrale doppio della funzione unitaria

$$A = \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$

Definiamo il vettore dei momenti statici di una porzione di piano $S$ come segue

$$\mathbf{s} = \left( \begin{matrix} S_z \\\\ S_y \end{matrix} \right) = \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \left( \begin{matrix} \iint\limits_S y \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \\\\ \iint\limits_S z \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{matrix} \right)$$

Traslando il sistema di riferimento, otteniamo

$$ \mathbf{s^{\nearrow}} = \iint\limits_S \mathbf{r^\nearrow } \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0}$$

Da tale espressione vediamo che è possibile individuare un punto $G$ rispetto al quale si annulla il vettore dei momenti statici.

$$\mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0} = \mathbf{0} \Longrightarrow \mathbf{r_G} = \frac{1}{A} \mathbf{s}$$

Il punto $G$ individuato dal vettore $\mathbf{r_G}$ è detto baricentro.

Ruotando il sistema di riferimento otteniamo invece

$$\mathbf{s^{\odot}} = \iint\limits_S \mathbf{r^{\odot}} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S \mathbf{N} \, \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{N} \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{N} \, \mathbf{s}$$

Definiamo il tensore dei momenti di inerzia una sezione

$$\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{zz} & I_{yz}\\\\ I_{yz} & I_{yy} \end{bmatrix} = \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S \left( r \right) \left( r \right)^T \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \begin{bmatrix} \iint\limits_S y^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\\ \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S z^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{bmatrix}$$

Notiamo che la matrice associata al tensore $\mathbf{I}$ è simmetrica.

Nella suddetta definizione è stata introdotta l'operazione di prodotto diadico

$$ \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} = \left( r\right) \left( r\right )^T = \begin{bmatrix} y^2 & yz \\\\ yz & z^2 \end{bmatrix}$$

Si noti che il prodotto diadico non gode della proprietà commutativa, ma gode della proprietà distributiva rispetto alla somma vettoriale:

• è possibile individuare una coppia di vettori $\mathbf{r}$ $\mathbf{s}$ per i quali

$$\mathbf{r} \otimes \mathbf{s} \ne \mathbf{s} \otimes \mathbf{r}$$

• per qualsiasi terna di vettori \mathbf{r}, \mathbf{s}, \mathbf{t}

$$\mathbf{r} \otimes \left( \mathbf{s} + \mathbf{t} \right) = \mathbf{r} \otimes \mathbf{s} + \mathbf{r} \otimes \mathbf{t}$$

$$\left( \mathbf{r} + \mathbf{s} \right) \otimes \mathbf{t} = \mathbf{r} \otimes \mathbf{t} + \mathbf{s} \otimes \mathbf{t}$$

Traslando il sistema di riferimento, otteniamo

$$\mathbf{I^\nearrow } = \iint\limits_S \mathbf{r^\nearrow } \otimes \mathbf{r^\nearrow } \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \otimes (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \\ \left( \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right) - \left( \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right) \otimes \mathbf{r_0} - \mathbf{r_0} \otimes \left( \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right) + \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0} \left( \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right)$$

relazione che può essere scritta nella forma più compatta

$$\mathbf{I^\nearrow} = \mathbf{I} - \mathbf{s} \otimes \mathbf{r_0} - \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{s} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$

In forma esplicita otteniamo

$$I_{zz}^\nearrow = I_{zz} - 2 \, y_0 \, S_{z} + A \, y_0^2$$

$$I_{yy}^\nearrow = I_{yy} - 2 \, z_0 \, S_{y} + A \, z_0^2$$

$$I_{yz}^\nearrow = I_{yz} - y_0 \, S_{y} - z_0 \, S_{z} + A \, y_0 \, z_0$$

Se la traslazione avviene rispetto ad un sistema baricentrico ($\mathbf{s} = \mathbf{0}$), quest'ultima relazione si semplifica nella forma

$$\mathbf{I^\nearrow} = \mathbf{I} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$

usualmente denominata legge di Huygens.

Ruotando il sistema di riferimento abbiamo invece

$$ I^\odot = \iint\limits_S \mathbf{r^\odot} \otimes \mathbf{r^\odot} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iint\limits_S (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$

Dalla definizione di prodotto diadico sopra riportato otteniamo facilmente che

$$(\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) = \mathbf{N} ( \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \mathbf{N^T}$$

e quindi la relazione precedente diventa

$$ I^\odot = \mathbf{N} \, \iint\limits_S (\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}z \, \mathbf{N^T} = \mathbf{N} \, \mathbf{I} \, \mathbf{N^T}$$

Esplicitando le relazioni otteniamo

$$I_{yy}^\odot = I_{yy} \cos ^2 \theta - 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \sin ^2 \theta$$ $$I_{zz}^\odot = I_{yy} \sin ^2 \theta + 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \cos ^2 \theta$$ $$I_{yz}^\odot = \left( I_{yy} - I_{zz} \right) \sin \theta \cos \theta + I_{yz} \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right) = \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \sin 2 \theta + I_{yz} \cos 2 \theta$$

E' possibile scegliere $\mathbf{N}$, e quindi $\theta$, in maniera da annullare il momento di inerzia centrifugo $I_{yz}$, trasformando la matrice dei momenti di inerzia $I^\odot$ in una matrice diagonale. Troveremoo così un sistema di riferimento individuato dai versori ortogonali $\mathbf{\eta}$ e $\mathbf{\zeta}$.

Imponendo l'annullamento del momento centrifugo otteniamo

$$\tan 2 \theta_{\eta} = \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}} \Longrightarrow \theta_{\eta} = \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}}$$

in cui $\theta_{\eta}$ è l'angolo tra il versore $\mathbf{\eta}$ del sistema di riferimento ruotato ed il versore delle $y$ nel sistema di riferimento di partenza.

Il sistema di riferimento $\mathbf{\eta} O \mathbf{\zeta}$ così individuato è detto principale di inerzia ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti principali di inerzia. Andando a sostituire il valore di $\theta_{\eta}$ così calcolato nella relazione che permette di calcolare i momenti di inerzia in un sistema di riferimento ruotato, otteniamo

$$I_{\eta \eta} = I_{yy} \cos ^2 \theta_{\eta} - 2 I_{yz} \sin \theta_{\eta} \cos \theta_{\eta} + I_{zz} \sin ^2 \theta_{\eta}$$

che con semplici nozioni di trigonometria può essere riscritta nella forma

$$I_{\eta \eta} = I_{yy} \frac{1 + \cos 2 \theta_{\eta} }{2} - I_{yz} \sin 2 \theta_{\eta} + I_{zz} \frac{1 - \cos 2 \theta_{\eta} }{2} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \cos 2 \theta_{\eta} - I_{yz} \sin 2 \theta_{\eta}$$

Ricorrendo alla relazione trovata per $\tan 2 \theta_{\eta}$, possiamo scrivere

$$I_{\eta \eta} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \cos 2 \theta_{\eta} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \tan 2 \theta_{\eta} \sin 2 \theta_{\eta} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \frac{1}{\cos 2 \theta_{\eta}}$$

Poiché

$$\frac{1}{\cos 2 \theta_{\eta}} = \sqrt{1 + \tan^2 2 \theta_{\eta}} = \sqrt{1 + \frac{4 I_{yz}^2}{\left( I_{zz} - I_{yy} \right)^2 } } $$

possiamo scrivere infine

$$I_{\eta\eta} = \begin{cases} \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\left( I_{yy} - I_{zz} \right)^2 + 4 I_{yz}^2} & I_{yy} \ge I_{zz}\\ \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{\left( I_{yy} - I_{zz} \right)^2 + 4 I_{yz}^2} & I_{yy} < I_{zz} \end{cases}$$

Se il sistema di riferimento oltre ad essere principale è anche baricentrico, è chiamato centrale di inerzia, ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti centrali di inerzia.

Si rimanda alla pagina formule applicative per esempi esplicativi di quanto appena visto.