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--- scienza_costruzioni:geometria_delle_aree [2013/03/09 09:59]
mickele [Area di una sezione]
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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
 ====== Geometria delle aree ======
+La geometria delle aree non è un argomento di per sé correlato con la teoria dell'elasticità se non per il fatto che essa trova applicazione nell'analisi di alcuni tipi di solidi elastici. In particolare analizzando il solido elastico lineare sotto l'ipotesi di conservazione delle sezioni piane le formule di seguito riportate troveranno applicazione pratica.
 =====Trasformazioni in un sistema di riferimento ortonormale bidimensionale=====
@@ Linea 13: / Linea 14: @@
 Se trasliamo il sistema di riferimento secondo il vettore $\mathbf{r_0}$, il vettore posizione $\mathbf{r^\prime}$ nel nuovo sistema di riferimento sarà dato da
-$$ \mathbf{r^\prime} = \mathbf{r} - \mathbf{r_0} =
+$$ \mathbf{r^\nearrow} = \mathbf{r} - \mathbf{r_0} =
 \left( \begin{matrix}
 y \\\\
@@ Linea 21: / Linea 22: @@
 z_0 \end{matrix} \right)$$
-Nel caso invece di rotazione del sistema di riferimento di un angolo <m>theta</m>, con analoga notazione abbiamo
+Nel caso invece di rotazione del sistema di riferimento di un angolo $\theta$, con analoga notazione abbiamo
-$$ \mathbf{r^\ast} = \mathbf{N} \, \mathbf{r}$$
+$$\mathbf{r^\odot} = \mathbf{N} \, \mathbf{r}$$
 in cui
@@ Linea 43: / Linea 44: @@
 =====Momenti statici di una sezione=====
-Definiamo il vettore dei momenti statici di una sezione come segue
+Definiamo il vettore dei momenti statici di una porzione di piano $S$ come segue
 $$\mathbf{s} = \left( \begin{matrix}
@@ Linea 55: / Linea 56: @@
 Traslando il sistema di riferimento, otteniamo
-$$ \mathbf{s^\prime} = \iint\limits_S \mathbf{r^\prime} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
+$$ \mathbf{s^{\nearrow}} = \iint\limits_S \mathbf{r^\nearrow } \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
 \iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
 \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z - \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
 \mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0}$$
-Nel punto individuato dal vettore posizione
+In forma esplicita otteniamo
+$$S_z^{\nearrow} = S_z - A \cdot y_0$$
+$$S_y^{\nearrow} = S_y - A \cdot z_0$$
+Da tale espressione vediamo che è possibile individuare un punto $G$ rispetto al quale si annulla il vettore dei momenti statici.
-$$\mathbf{r_G} = \frac{1}{A} \mathbf{s}$$
+$$\mathbf{s} - A \, \mathbf{r_0} = \mathbf{0} \Longrightarrow \mathbf{r_G} = \frac{1}{A} \mathbf{s}$$
-il vettore dei momenti statici si annulla. Tale punto è detto baricentro.
+Il punto $G$ individuato dal vettore $\mathbf{r_G}$ è detto //baricentro//.
 Ruotando il sistema di riferimento otteniamo invece
-$$\mathbf{s^\ast} = \iint\limits_S \mathbf{r^\ast} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
+$$\mathbf{s^{\odot}} = \iint\limits_S \mathbf{r^{\odot}} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
 \iint\limits_S \mathbf{N} \, \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
 \mathbf{N} \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
 \mathbf{N} \, \mathbf{s}$$
+In forma esplicita abbiamo le formule
+$$S_{z}^{\odot} = S_z \cdot \cos \theta + S_y \cdot \sin \theta$$
+$$S_{y}^{\odot} = - S_z \cdot \sin \theta + S_y \cdot \cos \theta $$
 =====Momenti di inerzia di una sezione=====
-Definiamo il tensore dei momenti di inerzia una sezione come segue
+Definiamo il tensore dei momenti di inerzia una sezione
 $$\mathbf{I} =
@@ Linea 81: / Linea 93: @@
 I_{yz} & I_{yy} \end{bmatrix} =
 \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\iint\limits_S \left\{r\right\} \left\{r\right\}^T \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
+\iint\limits_S \left( r \right) \left( r \right)^T \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\begin{bmatrix} \iint\limits_S y^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\\\\
+\begin{bmatrix} \iint\limits_S y^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\\
 \iint\limits_S yz \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z & \iint\limits_S z^2 \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \end{bmatrix}$$
-in cui l'operazione
+Notiamo che la matrice associata al tensore $\mathbf{I}$ è simmetrica.
-$$ \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} = \left\{r\right\} \left\{r\right\}^T =
+Nella suddetta definizione è stata introdotta l'operazione di prodotto diadico
+$$ \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} = \left( r\right) \left( r\right )^T =
 \begin{bmatrix} y^2 & yz \\\\ yz & z^2 \end{bmatrix}$$
-è detta prodotto diadico. Si noti che il prodotto diadico non gode della proprietà commutativa, ma gode della proprietà distributiva rispetto alla somma vettoriale.
+Si noti che il prodotto diadico non gode della proprietà commutativa, ma gode della proprietà distributiva rispetto alla somma vettoriale:
+  * è possibile individuare una coppia di vettori $\mathbf{r}$ $\mathbf{s}$ per i quali
+$$\mathbf{r} \otimes \mathbf{s} \ne \mathbf{s} \otimes \mathbf{r}$$
+  * per qualsiasi terna di vettori \mathbf{r}, \mathbf{s}, \mathbf{t}
+$$\mathbf{r} \otimes \left( \mathbf{s} + \mathbf{t} \right) = \mathbf{r} \otimes \mathbf{s} + \mathbf{r} \otimes \mathbf{t}$$
+$$\left( \mathbf{r} + \mathbf{s} \right) \otimes \mathbf{t} = \mathbf{r} \otimes \mathbf{t} + \mathbf{s} \otimes \mathbf{t}$$
 Traslando il sistema di riferimento, otteniamo
-$$\mathbf{I^\prime} =
+$$\mathbf{I^\nearrow } =
-\iint\limits_S \mathbf{r^\prime} \otimes \mathbf{r^\prime} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
+\iint\limits_S \mathbf{r^\nearrow } \otimes \mathbf{r^\nearrow } \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
-\iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \otimes (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
+\iint\limits_S (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \otimes (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \\
-\iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z -
+\left( \iint\limits_S \mathbf{r} \otimes \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right) -
-\iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \otimes \mathbf{r_0} -
+\left( \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right) \otimes \mathbf{r_0} -
-\mathbf{r_0} \otimes \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z +
+\mathbf{r_0} \otimes \left( \iint\limits_S \mathbf{r} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right) +
-\mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0} \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =$$
+\mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0} \left( \iint\limits_S \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z \right)$$
-e infine
+relazione che può essere scritta nella forma più compatta
-$$\mathbf{I^\prime} =
+$$\mathbf{I^\nearrow} =
 \mathbf{I} - \mathbf{s} \otimes \mathbf{r_0} - \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{s} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$
 In forma esplicita otteniamo
-$$I_{zz}^\prime =
+$$I_{zz}^\nearrow =
 I_{zz} - 2 \, y_0  \, S_{z} + A \, y_0^2$$
-$$I_{yy}^\prime =
+$$I_{yy}^\nearrow =
 I_{yy} - 2 \, z_0  \, S_{y} + A \, z_0^2$$
-$$I_{yz}^\prime =
+$$I_{yz}^\nearrow =
 I_{yz} - y_0  \, S_{y} - z_0  \, S_{z} + A \, y_0 \, z_0$$
-Se il sistema di riferimento di partenza è baricentrico, quest'ultima relazione diventa
+Se la traslazione avviene rispetto ad un sistema baricentrico ($\mathbf{s} = \mathbf{0}$), quest'ultima relazione si semplifica nella forma
-$$\mathbf{I^\prime} =
+$$\mathbf{I^\nearrow} =
 \mathbf{I} + A \, \mathbf{r_0} \otimes \mathbf{r_0}$$
-usualmente denominata legge di Huzgens.
+usualmente denominata //legge di Huygens//.
 Ruotando il sistema di riferimento abbiamo invece
-$$ I^\ast = \iint\limits_S \mathbf{r^\ast} \otimes \mathbf{r^\ast} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
+$$ I^\odot = \iint\limits_S \mathbf{r^\odot} \otimes \mathbf{r^\odot} \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z =
 \iint\limits_S (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \otimes (\mathbf{N} \, \mathbf{r}) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$
@@ Linea 136: / Linea 157: @@
 e quindi la relazione precedente diventa
-$$ I^\ast = \mathbf{N} \, \iint\limits_S (\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}z \, \mathbf{N^T} = \mathbf{N} \, \mathbf{I} \, \mathbf{N^T}$$
+$$ I^\odot = \mathbf{N} \, \iint\limits_S (\mathbf{r} \otimes \mathbf{r}) \, \mathrm{d}z \, \mathrm{d}z \, \mathbf{N^T} = \mathbf{N} \, \mathbf{I} \, \mathbf{N^T}$$
 Esplicitando le relazioni otteniamo
-$$I_{yy}^\ast = I_{yy} \cos ^2 \theta + 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \sin ^2 \theta$$
+$$I_{yy}^\odot = I_{yy} \cos ^2 \theta - 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \sin ^2 \theta$$
-$$I_{zz}^\ast = I_{yy} \sin ^2 \theta - 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \cos ^2 \theta$$
+$$I_{zz}^\odot = I_{yy} \sin ^2 \theta + 2 I_{yz} \sin \theta \cos \theta + I_{zz} \cos ^2 \theta$$
-$$I_{yz}^\ast = \left( I_{zz} - I_{yy} \right) \sin \theta \cos \theta + I_{yz} \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right) = \frac{I_{zz} - I_{yy}}{2} \sin 2 \theta + I_{yz} \cos 2 \theta$$
+$$I_{yz}^\odot = \left( I_{yy} - I_{zz} \right) \sin \theta \cos \theta + I_{yz} \left( \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \right) = \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \sin 2 \theta + I_{yz} \cos 2 \theta$$
+E' possibile scegliere $\mathbf{N}$, e quindi $\theta$, in maniera da annullare il momento di inerzia centrifugo $I_{yz}$, trasformando la matrice dei momenti di inerzia $I^\odot$ in una matrice diagonale. Troveremoo così un sistema di riferimento individuato dai versori ortogonali $\mathbf{\eta}$ e $\mathbf{\zeta}$.
+Imponendo l'annullamento del momento centrifugo otteniamo
+$$\tan 2 \theta_{\eta} = \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}} \Longrightarrow \theta_{\eta} = \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}}$$
+in cui $\theta_{\eta}$ è l'angolo tra il versore $\mathbf{\eta}$ del sistema di riferimento ruotato ed il versore delle $y$ nel sistema di riferimento di partenza.
+Il sistema di riferimento $\mathbf{\eta} O \mathbf{\zeta}$ così individuato è detto //principale di inerzia// ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti principali di inerzia. Andando a sostituire il valore di $\theta_{\eta}$ così calcolato nella relazione che permette di calcolare i momenti di inerzia in un sistema di riferimento ruotato, otteniamo
+$$I_{\eta \eta} = I_{yy} \cos ^2 \theta_{\eta} - 2 I_{yz} \sin \theta_{\eta} \cos \theta_{\eta} + I_{zz} \sin ^2 \theta_{\eta}$$
+che con semplici nozioni di trigonometria può essere riscritta nella forma
+$$I_{\eta \eta} = I_{yy} \frac{1 + \cos 2 \theta_{\eta} }{2} - I_{yz} \sin 2 \theta_{\eta} + I_{zz} \frac{1 - \cos 2 \theta_{\eta} }{2} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \cos 2 \theta_{\eta}  - I_{yz} \sin 2 \theta_{\eta}$$
+Ricorrendo alla relazione trovata per $\tan 2 \theta_{\eta}$, possiamo scrivere
+$$I_{\eta \eta} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \cos 2 \theta_{\eta} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \tan 2 \theta_{\eta} \sin 2 \theta_{\eta} = \frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{I_{yy} - I_{zz}}{2} \frac{1}{\cos 2 \theta_{\eta}}$$
-E' possibile scegliere $\mathbf{N}$, e quindi $\theta$, in maniera da annullare il momento di inerzia centrifugo $I_{zz}$, trasformando la matrice dei momenti di inerzia $I^\ast$ in una matrice diagonale.
+Poiché
-Imponendo questa condizione otteniamo
+$$\frac{1}{\cos 2 \theta_{\eta}} = \sqrt{1 + \tan^2 2 \theta_{\eta}} = \sqrt{1 + \frac{4 I_{yz}^2}{\left( I_{zz} - I_{yy} \right)^2 }  } $$
-$$\theta_{\eta} = \frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{2 I_{yz}}{I_{zz} - I_{yy}}$$
+possiamo scrivere infine
-Il sistema di riferimento così individuato è detto principale di inerzia ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti principali di inerzia.
+$$I_{\eta\eta} =
+\begin{cases}
+\frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{\left( I_{yy} - I_{zz} \right)^2 + 4 I_{yz}^2}  & I_{yy} \ge I_{zz}\\
+\frac{I_{yy} + I_{zz}}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{\left( I_{yy} - I_{zz} \right)^2 + 4 I_{yz}^2}  & I_{yy} < I_{zz}
+\end{cases}$$
-Se il sistema di riferimento oltre ad essere principale è anche baricentrico, è definito centrale di inerzia, ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti centrali di inerzia.
+Se il sistema di riferimento oltre ad essere principale è anche baricentrico, è chiamato //centrale di inerzia//, ed i relativi momenti di inerzia sono detti momenti centrali di inerzia.
 ===== Formule applicative =====

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