scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti
Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
Entrambe le parti precedenti la revisione Revisione precedente Prossima revisione | Revisione precedente | ||
scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti [2015/12/28 21:55] mickele |
scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti [2021/06/13 13:08] (versione attuale) |
||
---|---|---|---|
Linea 1: | Linea 1: | ||
====== Fune soggetta a carichi verticali distribuiti ====== | ====== Fune soggetta a carichi verticali distribuiti ====== | ||
+ | |||
+ | Analizzeremo l' | ||
===== Caso generale ===== | ===== Caso generale ===== | ||
Linea 17: | Linea 19: | ||
$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$ | $$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$ | ||
- | Rimangono da determinare | + | Rimangono da determinare |
Le prime due condizioni da imporre sono il passaggio della fune per i punti di vincolo. | Le prime due condizioni da imporre sono il passaggio della fune per i punti di vincolo. | ||
Linea 39: | Linea 41: | ||
Per risolvere l' | Per risolvere l' | ||
- | $$ \int \sqrt{ 1 + a \, u^2} \, \mathrm{d} u = \frac{1}{2} \left( u \sqrt{1+u^2} + \ln | u + \sqrt{1+u^2} |\right) $$ | + | $$ \int \sqrt{ 1 + a \, u^2} \, \mathrm{d} u = \frac{1}{2} \left( u \sqrt{1+u^2} + \ln \left| u + \sqrt{1+u^2} |
Facciamo la posizione | Facciamo la posizione | ||
Linea 51: | Linea 53: | ||
Procedendo per sostituzione l' | Procedendo per sostituzione l' | ||
- | $$\int \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \int \sqrt{1 + u^2 } \, \mathrm{d} u = - \frac{H}{2 q} \left( | + | $$\int \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \int \sqrt{1 + u^2 } \, \mathrm{d} u = \, \\ |
+ | \, = - \frac{H}{2 q} \left[ | ||
- | ===== Fune simmetria rispetto ad un asse verticale ===== | + | La terza equazione cercata è allora |
- | Nel caso la fune sia simmetrica | + | $$l = - \frac{H}{2 q} \left[ \left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right)^2} - \left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right)^2} + \ln \left| \frac{- \frac{q}{H} x_2 + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right)^2}} {- \frac{q}{H} x_1 + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right)^2}} \right| \right] $$ |
+ | |||
+ | Le tre equazioni costituiscono un sistema non lineare che ci permette di calcolare $C_1$, $C_2$ e $H$. | ||
+ | |||
+ | ===== Fune simmetria rispetto ad asse verticale ===== | ||
+ | |||
+ | Nel caso la fune, e quindi i suoi vincoli, siano simmetrici | ||
+ | |||
+ | $$x_2 = -x_1 $$ | ||
+ | |||
+ | $$C_1 = 0 $$ | ||
+ | |||
+ | e che la deformata | ||
$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_2$$ | $$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_2$$ | ||
Linea 61: | Linea 76: | ||
La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione | La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione | ||
- | $$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + \frac{q^2}{H^2} \, x^2 } \, \mathrm{d}x$$ | + | $$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + \frac{q^2}{H^2} \, x^2 } \, \mathrm{d}x |
+ | \, \Longrightarrow l = - \frac{H}{q} \left( \frac{q}{H} x_1 \sqrt{1+\frac{q^2}{H^2} x_1^2} + \ln \left| \frac{q}{H} x_1 + \sqrt{1+ \frac{q^2}{H^2} x_1^2 } \right| \right) | ||
+ | |||
+ | Questa equazione, unita a quella già vista su | ||
+ | |||
+ | $$- \frac{q}{2 \, H} x_2^2 + C_2 = y_2 \Longrightarrow C_2 = y_2 + \frac{q}{2 \, H} x_2^2 $$ | ||
+ | |||
+ | ci permette di risolvere il problema. | ||
+ | La grossa semplificazione che l' |
scienza_costruzioni/fune_carichi_verticali_distribuiti.1451336150.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)