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Fune soggetta a carichi verticali distribuiti
Equilibrio
Sia $H$ la reazione orizzontale verticale sul primo vertice della fune. Consideriamo un tratto infinitesimo di fune $\mathrm{d}s$ che intercetta sulle ascisse il tratto $\mathrm{d}x$ e sulle ordinate il tratto $\mathrm{d}y$.
L'equilibrio a traslazione del tratto analizzato dà
$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x = - q \mathrm{d}x$$
da cui deriviamo la relazione
$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - q \Longrightarrow \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{q}{H} $$
che ci permette di affermare che la deformata della fune è una parabola di equazione
$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$
Rimangono da determinare il valore della componente orizzontale $H$ e i valori delle costanti $C_1$ e $C_2$.
Le prime due condizioni da imporre sono il passaggio della fune per i punti di vincolo.
Di solito avremo condizioni del tipo
$$y(0) = 0 \Longrightarrow C_2 = 0 $$
$$y(l) = 0 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} l^2 + C_1 \, l = 0 \Longrightarrow C_1 = \frac{q}{2 \, H} l $$
La terza condizione da imporre riguarderà la lunghezza della fune. Calcolo non banale per il quale rimandiamo al paragrafo seguente.
Lunghezza della fune deformata
La lunghezza di una curva, in generale, è pari a
$$l = \int \limits_{t1}^{t2} \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d} \, x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} \, y}{\mathrm{d}t} \right)^2 } \, \mathrm{d}t$$
Nel nostro caso, con un semplice cambio di coordinate, possiamo esprimere la deformata nella forma
$$y = \alpha x^2 $$
La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione
$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + 4 \alpha^2 \, x^2 } \, \mathrm{d}x$$