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scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti

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Fune soggetta a carichi verticali distribuiti

Equilibrio

Sia $H$ la reazione orizzontale verticale sul primo vertice della fune. Consideriamo un tratto infinitesimo di fune $\mathrm{d}s$ che intercetta sulle ascisse il tratto $\mathrm{d}x$ e sulle ordinate il tratto $\mathrm{d}y$.

L'equilibrio a traslazione del tratto analizzato dà

$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x = - q \mathrm{d}x$$

da cui deriviamo la relazione

$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - q \Longrightarrow \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{q}{H} $$

che ci permette di affermare che la deformata della fune è una parabola di equazione

$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$

Rimangono da determinare il valore della componente orizzontale $H$ e i valori delle costanti $C_1$ e $C_2$. Imporremo quindi:

  • il passaggio della fune per i punti di vincolo
  • la lunghezza della fune

Lunghezza della fune deformata

La lunghezza di una curva, in generale, è pari a

$$l = \int \limits_{t1}^{t2} \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d} \, x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} \, y}{\mathrm{d}t} \right)^2 } \, \mathrm{d}t$$

Nel nostro caso, con un semplice cambio di coordinate, possiamo esprimere la deformata nella forma

$$y = \alpha x^2 $$

La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione

$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + 4 \alpha^2 \, x^2 } \, \mathrm{d}x$$


scienza_costruzioni/fune_carichi_verticali_distribuiti.1451250137.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)

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