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--- scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti [2015/12/27 20:43]
mickele
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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
 ====== Fune soggetta a carichi verticali distribuiti ======
-===== Equilibrio =====
+Analizzeremo l'equilibrio di una fune soggetta ad un carico verticale distribuito $q$, distribuito in maniera costante rispetto all'orizzontale ($q(x) = cost $).
+===== Caso generale =====
 Sia $H$ la reazione orizzontale verticale sul primo vertice della fune. Consideriamo un tratto infinitesimo di fune $\mathrm{d}s$ che intercetta sulle ascisse il tratto $\mathrm{d}x$ e sulle ordinate il tratto $\mathrm{d}y$.
@@ Linea 17: / Linea 19: @@
 $$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$
-Possiamo determinare i valori delle costanti $C_1$ e $C_2$ imponendo il passaggio per i due punti di vincolo della fune.
+Rimangono da determinare i valori della componente orizzontale $H$ e delle costanti $C_1$ e $C_2$.
+Le prime due condizioni da imporre sono il passaggio della fune per i punti di vincolo.
+Di solito avremo condizioni del tipo
+$$y(x_1) = y_1 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} x_1^2 + C_1 \, x_1 + C_2 = y_1$$
+$$y(x_2) = y_1 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} x_2^2 + C_1 \, x_2 + C_2 = y_2$$
+La terza condizione da imporre riguarderà la lunghezza della fune.
+La lunghezza di una curva, in generale, è pari a
+$$l = \int \limits_{t1}^{t2} \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d} \, x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} \, y}{\mathrm{d}t} \right)^2 } \, \mathrm{d}t$$
+Nel nostro caso, supponendo $l$ la lunghezza della nostra fune, abbiamo
+$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x $$
+Per risolvere l'integrale osserviamo che (vedi pagina su [[matematica:integrali_indefiniti_notevoli|integrali indefiniti notevoli]]
+$$ \int \sqrt{ 1 + a \, u^2} \, \mathrm{d} u = \frac{1}{2} \left( u \sqrt{1+u^2} + \ln \left| u + \sqrt{1+u^2} \right|\right) $$
+Facciamo la posizione
+$$u = - \frac{q}{H} x + C_1 $$
+da cui
+$$\mathrm{d} u = - \frac{q}{H} \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \, \mathrm{d}u $$
+Procedendo per sostituzione l'integrale diventa
+$$\int \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \int \sqrt{1 + u^2 } \, \mathrm{d} u = \, \\
+\, = - \frac{H}{2 q} \left[ \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2} + \ln \left| - \frac{q}{H} x + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2} \right| \right] $$
+La terza equazione cercata è allora
+$$l = - \frac{H}{2 q} \left[ \left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right)^2} - \left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right)^2} + \ln \left| \frac{- \frac{q}{H} x_2 + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right)^2}} {- \frac{q}{H} x_1 + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right)^2}} \right| \right] $$
+Le tre equazioni costituiscono un sistema non lineare che ci permette di calcolare $C_1$, $C_2$ e $H$.
+===== Fune simmetria rispetto ad asse verticale =====
+Nel caso la fune, e quindi i suoi vincoli, siano simmetrici rispetto ad un asse verticale, con un semplice cambio di coordinate possiamo fare in modo che
+$$x_2 = -x_1 $$
+$$C_1 = 0 $$
+e che la deformata assuma la forma semplificata
+$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_2$$
+La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione
+$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + \frac{q^2}{H^2} \, x^2 } \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \, \\
+\, \Longrightarrow l = - \frac{H}{q} \left( \frac{q}{H} x_1 \sqrt{1+\frac{q^2}{H^2} x_1^2} + \ln \left| \frac{q}{H} x_1 + \sqrt{1+ \frac{q^2}{H^2} x_1^2 } \right| \right) $$
+Questa equazione, unita a quella già vista su
+$$- \frac{q}{2 \, H} x_2^2 + C_2 = y_2 \Longrightarrow C_2 = y_2 + \frac{q}{2 \, H} x_2^2 $$
+ci permette di risolvere il problema.
+La grossa semplificazione che l'ipotesi di simmetria assiale ci permette di realizzare è quella di avere due equazione disaccoppiate, la cui soluzione è molto più agevole di quella del sistema visto in precedenza.

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