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--- scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti [2015/12/28 22:08]
mickele [Caso generale]
+++ scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti [2021/06/13 13:08]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Fune soggetta a carichi verticali distribuiti ======
-===== Caso generale =====
-Sia $H$ la reazione orizzontale verticale sul primo vertice della fune. Consideriamo un tratto infinitesimo di fune $\mathrm{d}s$ che intercetta sulle ascisse il tratto $\mathrm{d}x$ e sulle ordinate il tratto $\mathrm{d}y$.
-L'equilibrio a traslazione del tratto analizzato dà
-$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x = - q \mathrm{d}x$$
-da cui deriviamo la relazione
-$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - q \Longrightarrow \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{q}{H} $$
-che ci permette di affermare che la deformata della fune è una parabola di equazione
-$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$
-Rimangono da determinare il valore della componente orizzontale $H$ e i valori delle costanti $C_1$ e $C_2$.
-Le prime due condizioni da imporre sono il passaggio della fune per i punti di vincolo.
-Di solito avremo condizioni del tipo
-$$y(x_1) = y_1 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} x_1^2 + C_1 \, x_1 + C_2 = y_1$$
-$$y(x_2) = y_1 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} x_2^2 + C_1 \, x_2 + C_2 = y_2$$
-La terza condizione da imporre riguarderà la lunghezza della fune.
-La lunghezza di una curva, in generale, è pari a
-$$l = \int \limits_{t1}^{t2} \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d} \, x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} \, y}{\mathrm{d}t} \right)^2 } \, \mathrm{d}t$$
-Nel nostro caso, supponendo $l$ la lunghezza della nostra fune, abbiamo
-$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x $$
-Per risolvere l'integrale osserviamo che (vedi pagina su [[matematica:integrali_indefiniti_notevoli|integrali indefiniti notevoli]]
-$$ \int \sqrt{ 1 + a \, u^2} \, \mathrm{d} u = \frac{1}{2} \left( u \sqrt{1+u^2} + \ln \left| u + \sqrt{1+u^2} \right|\right) $$
-Facciamo la posizione
-$$u = - \frac{q}{H} x + C_1 $$
-da cui
-$$\mathrm{d} u = - \frac{q}{H} \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \, \mathrm{d}u $$
-Procedendo per sostituzione l'integrale diventa
-$$\int \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \int \sqrt{1 + u^2 } \, \mathrm{d} u = \, \\
-\, = - \frac{H}{2 q} \left[ \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2} + \ln \left| - \frac{q}{H} x + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2} \right| \right] $$
-La terza equazione cercata è allora
-$$l = - \frac{H}{2 q} \left[ \left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right)^2} - \left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right)^2} + \ln \left| \frac{- \frac{q}{H} x_2 + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right)^2}} {- \frac{q}{H} x_1 + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right)^2}} \right| \right] $$
-===== Fune simmetria rispetto ad asse verticale =====
-Nel caso la fune sia simmetrica rispetto ad un asse verticale, con un semplice cambio di coordinate possiamo esprimere la deformata nella forma
-$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_2$$
-La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione
-$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + \frac{q^2}{H^2} \, x^2 } \, \mathrm{d}x$$

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