scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti
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scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti [2021/06/13 13:08] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Fune soggetta a carichi verticali distribuiti ====== | ||
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- | ===== Caso generale ===== | ||
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- | Sia $H$ la reazione orizzontale verticale sul primo vertice della fune. Consideriamo un tratto infinitesimo di fune $\mathrm{d}s$ che intercetta sulle ascisse il tratto $\mathrm{d}x$ e sulle ordinate il tratto $\mathrm{d}y$. | ||
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- | L' | ||
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- | $$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x = - q \mathrm{d}x$$ | ||
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- | da cui deriviamo la relazione | ||
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- | $$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - q \Longrightarrow \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{q}{H} $$ | ||
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- | che ci permette di affermare che la deformata della fune è una parabola di equazione | ||
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- | $$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$ | ||
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- | Rimangono da determinare il valore della componente orizzontale $H$ e i valori delle costanti $C_1$ e $C_2$. | ||
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- | Le prime due condizioni da imporre sono il passaggio della fune per i punti di vincolo. | ||
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- | Di solito avremo condizioni del tipo | ||
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- | $$y(x_1) = y_1 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} x_1^2 + C_1 \, x_1 + C_2 = y_1$$ | ||
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- | $$y(x_2) = y_1 \Longrightarrow - \frac{q}{2 \, H} x_2^2 + C_1 \, x_2 + C_2 = y_2$$ | ||
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- | La terza condizione da imporre riguarderà la lunghezza della fune. | ||
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- | La lunghezza di una curva, in generale, è pari a | ||
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- | $$l = \int \limits_{t1}^{t2} \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d} \, x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} \, y}{\mathrm{d}t} \right)^2 } \, \mathrm{d}t$$ | ||
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- | Nel nostro caso, supponendo $l$ la lunghezza della nostra fune, abbiamo | ||
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- | $$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x $$ | ||
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- | ===== Fune simmetria rsipetto ad un asse ===== | ||
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- | Nel nostro caso, con un semplice cambio di coordinate, possiamo esprimere la deformata nella forma | ||
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- | $$y = \alpha x^2 $$ | ||
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- | La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione | ||
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- | $$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + 4 \alpha^2 \, x^2 } \, \mathrm{d}x$$ | ||
scienza_costruzioni/fune_carichi_verticali_distribuiti.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)