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--- scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti [2015/12/27 22:01]
mickele [Equilibrio]
+++ scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti [2021/06/13 13:08]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Fune soggetta a carichi verticali distribuiti ======
-===== Equilibrio =====
-Sia $H$ la reazione orizzontale verticale sul primo vertice della fune. Consideriamo un tratto infinitesimo di fune $\mathrm{d}s$ che intercetta sulle ascisse il tratto $\mathrm{d}x$ e sulle ordinate il tratto $\mathrm{d}y$.
-L'equilibrio a traslazione del tratto analizzato dà
-$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x = - q \mathrm{d}x$$
-da cui deriviamo la relazione
-$$H \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - q \Longrightarrow \frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}x^2} = - \frac{q}{H} $$
-che ci permette di affermare che la deformata della fune è una parabola di equazione
-$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$
-Rimangono da determinare il valore della componente orizzontale $H$ e i valori delle costanti $C_1$ e $C_2$. Imporremo quindi:
-  * il passaggio della fune per i punti di vincolo
-  * la lunghezza della fune
-===== Lunghezza della fune deformata =====
-La lunghezza di una curva, in generale, è pari a
-$$l = \int \limits_{t1}^{t2} \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d} \, x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} \, y}{\mathrm{d}t} \right)^2 } \, \mathrm{d}t$$
-Nel nostro caso, con un semplice cambio di coordinate, possiamo esprimere la deformata nella forma
-$$y = \alpha x^2 $$
-La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione
-$$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + 4 \alpha \, x^2 } \, \mathrm{d}x$$

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