scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti
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scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti [2015/12/27 22:01] mickele [Equilibrio] |
scienza_costruzioni:fune_carichi_verticali_distribuiti [2015/12/29 10:33] mickele |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== Fune soggetta a carichi verticali distribuiti ====== | ====== Fune soggetta a carichi verticali distribuiti ====== | ||
- | ===== Equilibrio | + | Analizzeremo l' |
+ | |||
+ | ===== Caso generale | ||
Sia $H$ la reazione orizzontale verticale sul primo vertice della fune. Consideriamo un tratto infinitesimo di fune $\mathrm{d}s$ che intercetta sulle ascisse il tratto $\mathrm{d}x$ e sulle ordinate il tratto $\mathrm{d}y$. | Sia $H$ la reazione orizzontale verticale sul primo vertice della fune. Consideriamo un tratto infinitesimo di fune $\mathrm{d}s$ che intercetta sulle ascisse il tratto $\mathrm{d}x$ e sulle ordinate il tratto $\mathrm{d}y$. | ||
Linea 17: | Linea 19: | ||
$$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$ | $$y\left(x\right) = - \frac{q}{2 \, H} x^2 + C_1 \, x + C_2$$ | ||
- | Rimangono da determinare | + | Rimangono da determinare |
- | * il passaggio della fune per i punti di vincolo | + | |
- | * la lunghezza della fune | + | |
- | ===== Lunghezza | + | Le prime due condizioni da imporre sono il passaggio della fune per i punti di vincolo. |
+ | |||
+ | Di solito avremo condizioni del tipo | ||
+ | |||
+ | $$y(x_1) | ||
+ | |||
+ | $$y(x_2) | ||
+ | |||
+ | La terza condizione da imporre riguarderà la lunghezza | ||
La lunghezza di una curva, in generale, è pari a | La lunghezza di una curva, in generale, è pari a | ||
Linea 27: | Linea 35: | ||
$$l = \int \limits_{t1}^{t2} \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d} \, x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} \, y}{\mathrm{d}t} \right)^2 } \, \mathrm{d}t$$ | $$l = \int \limits_{t1}^{t2} \sqrt{ \left( \frac{\mathrm{d} \, x}{\mathrm{d}t} \right)^2 + \left( \frac{\mathrm{d} \, y}{\mathrm{d}t} \right)^2 } \, \mathrm{d}t$$ | ||
- | Nel nostro caso, con un semplice cambio di coordinate, possiamo esprimere | + | Nel nostro caso, supponendo $l$ la lunghezza della nostra fune, abbiamo |
- | $$y = \alpha x^2 $$ | + | $$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x $$ |
+ | |||
+ | Per risolvere l' | ||
+ | |||
+ | $$ \int \sqrt{ 1 + a \, u^2} \, \mathrm{d} u = \frac{1}{2} \left( u \sqrt{1+u^2} + \ln \left| u + \sqrt{1+u^2} \right|\right) $$ | ||
+ | |||
+ | Facciamo la posizione | ||
+ | |||
+ | $$u = - \frac{q}{H} x + C_1 $$ | ||
+ | |||
+ | da cui | ||
+ | |||
+ | $$\mathrm{d} u = - \frac{q}{H} \, \mathrm{d}x \Longrightarrow \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \, \mathrm{d}u $$ | ||
+ | |||
+ | Procedendo per sostituzione l' | ||
+ | |||
+ | $$\int \sqrt{1 + \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2 } \, \mathrm{d} x = - \frac{H}{q} \int \sqrt{1 + u^2 } \, \mathrm{d} u = \, \\ | ||
+ | \, = - \frac{H}{2 q} \left[ \left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2} + \ln \left| - \frac{q}{H} x + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x + C_1 \right)^2} \right| \right] $$ | ||
+ | |||
+ | La terza equazione cercata è allora | ||
+ | |||
+ | $$l = - \frac{H}{2 q} \left[ \left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right)^2} - \left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right) \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right)^2} + \ln \left| \frac{- \frac{q}{H} x_2 + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_2 + C_1 \right)^2}} {- \frac{q}{H} x_1 + C_1 + \sqrt{1+\left( - \frac{q}{H} x_1 + C_1 \right)^2}} \right| \right] $$ | ||
+ | |||
+ | Le tre equazioni costituiscono un sistema non lineare che ci permette di calcolare $C_1$, $C_2$ e $H$. | ||
+ | |||
+ | ===== Fune simmetria rispetto ad asse verticale ===== | ||
+ | |||
+ | Nel caso la fune, e quindi i suoi vincoli, siano simmetrici rispetto ad un asse verticale, con un semplice cambio di coordinate possiamo fare in modo che | ||
+ | |||
+ | $$x_2 = -x_1 $$ | ||
+ | |||
+ | $$C_1 = 0 $$ | ||
+ | |||
+ | e che la deformata assuma la forma semplificata | ||
+ | |||
+ | $$y\left(x\right) | ||
La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione | La lunghezza della fune è pertanto data dalla relazione | ||
- | $$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + 4 \alpha \, x^2 } \, \mathrm{d}x$$ | + | $$l = \int \limits_{x1}^{x2} \sqrt{ 1 + \frac{q^2}{H^2} |
+ | \, \Longrightarrow l = - \frac{H}{q} \left( \frac{q}{H} x_1 \sqrt{1+\frac{q^2}{H^2} x_1^2} + \ln \left| \frac{q}{H} x_1 + \sqrt{1+ \frac{q^2}{H^2} x_1^2 } \right| \right) $$ | ||
+ | |||
+ | Questa equazione, unita a quella già vista su | ||
+ | |||
+ | $$- \frac{q}{2 \, H} x_2^2 + C_2 = y_2 \Longrightarrow C_2 = y_2 + \frac{q}{2 \, H} x_2^2 $$ | ||
+ | |||
+ | ci permette di risolvere il problema. | ||
+ | La grossa semplificazione che l' |
scienza_costruzioni/fune_carichi_verticali_distribuiti.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)