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scienza_costruzioni:flessione

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Linea 1: Linea 1:
 ====== Flessione ====== ====== Flessione ======
  
-===== Flessione retta =====+===== Caso generale =====
  
-$$\mathbf{\sigma} =  +Supponiamo valida lipotesi di conservazione delle sezioni piane
-\begin{Bmatrix}  +
-\sigma_x \\\\ +
-\sigma_y \\\\ +
-\sigma_z \\\\ +
-\tau_xy \\\\ +
-\tau_xz \\\\ +
-\tau_yz +
-\end{Bmatrix} =  +
-\begin{Bmatrix}  +
-\lambda + \mu_x \, x + \mu_y \, y\\\\ +
-0 \\\\ +
-0 \\\\ +
-0 \\\\ +
-0 \\\\ +
-+
-\end{Bmatrix}$$+
  
-$$\mathbf{\epsilon}  +$$ \varepsilon_x = \lambda + \mu_y \, + \mu_z \, y  $$
-\begin{Bmatrix}  +
-\epsilon_x \\\\ +
-\epsilon_y \\\\ +
-\epsilon_z \\\\ +
-\gamma_{xy} \\\\ +
-\gamma_{xz} \\\\ +
-\gamma_{yz} +
-\end{Bmatrix} =  +
-\begin{Bmatrix}  +
-\frac{\lambda + \mu_x \, x + \mu_y \, y}{E} \\\\ +
--\frac{\nu \, (\lambda + \mu_x \, x + \mu_y \, y)}{E} \\\\ +
--\frac{\nu \, (\lambda + \mu_x \, x + \mu_y \, y)}{E} \\\\ +
-0 \\\\ +
-0 \\\\ +
-+
-\end{Bmatrix}$$ +
-===== Flessione deviata =====+
  
-===== Pressoflessione =====+SUpponiamo inoltre sia 
 + 
 +$$ \sigma_y \sigma_z 0 $$ 
 + 
 +Dalla legge costitutiva elastico-lineare ricaviamo la relazione tra $\varepsilon_x$ e $\sigma_x$ 
 + 
 +$$ \sigma_x E \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) $$ 
 + 
 +Integriamo le tensioni $\sigma_x$ sulla superficie della sezione $S$, ottenendo 
 + 
 +$$N \iint \limits_{S} \sigma_x E \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) \mathrm{d} y \; \mathrm{d} z =  
 +E \left( \lambda A + S_{y} \, \mu_y + S_{z} \mu_z \right) $$ 
 + 
 + 
 +$$M_y = E \iint \limits_{S} \sigma_x \, z = \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) z \; \mathrm{d} y \mathrm{d} z = E \left( S_{y} \, \lambda + I_{zz} \, \mu_y +  I_{yz} \, \mu_z \right) $$ 
 + 
 +$$M_z =  - \iint \limits_{S} \sigma_x \, z = - E \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) y \; \mathrm{d} y \mathrm{d} z = - E \left( S_{z} \, \lambda + I_{yz} \, \mu_y +  I_{yy} \, \mu_z \right) $$ 
 + 
 +In forma matriciale possiamo scrivere 
 + 
 +$$\boldsymbol{f} = 
 +\begin{pmatrix} N \\ M_y \\ M_z\end{pmatrix} =  
 +E \begin{bmatrix} A & S_y & S_z \\ S_y & I_{zz} & I_{yz} \\ - S_z & - I_{yz} & - I_{yy}\end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu_y \\ \mu_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{K} \boldsymbol{\eta}$$ 
 + 
 +E' definito sistema di riferimento centrale di inerzia della sezione un sistema che sia (vedi la sezione sulla [[scienza_costruzioni:geometria_delle_aree|Geometria delle aree]]): 
 +  * baricentrico: $S_y = S_z = 0$) 
 +  * principale di inerzia $I_{yz} = 0$ 
 + 
 +Se non siamo già in un sistema di riferimento inerziale, ruotiamo e trasliamo la nostra sezione di modo da porci sotto tali ipotesi. In questo modo la matrice $\boldsymbol{K}$ diventa diagonale semplificando drasticamente la relazione tra $\boldsymbol{f}$ ed $\boldsymbol{\eta}$ 
 + 
 +$$\boldsymbol{f_C} = 
 +\begin{pmatrix} N \\ M^{\odot}_{C,y} \\ M_{C,z}\end{pmatrix} = 
 +E \begin{bmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & I_{C,zz} & 0 \\ 0 & 0 & - I_{C,yy}\end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_{C} \\ \mu_y \\ \mu_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{K} \boldsymbol{\eta_C}$$ 
 + 
 +Di conseguenza 
 + 
 +$$\lambda_{C} = \frac{N}{E \, A} $$ 
 + 
 +$$\mu_{C,y} = \frac{M_{C,y}}{E \, I_{C,zz}} $$ 
 + 
 +$$\mu_{C,z} = - \frac{M_{C,z}}{E \, I_{C,yy}} $$ 
 + 
 +Notiamo che nella rototraslazione del sistema di riferimento, l'area e lo sforzo normale rimangono invariati, cambiano i momenti di inerzia e le coppie applicate alla sezione. 
 + 
 +===== Flessione retta =====
  
 +Si definisce sezione retta il caso in cui:
 +  * lo sforzo normale è nullo
 +  * il momento applicato alla sezione è parallelo ad una direzione principale di inerzia.

scienza_costruzioni/flessione.1354472165.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)

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