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mickele [Caso generale]
+++ scienza_costruzioni:flessione [2021/06/13 13:08]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Flessione ======
-===== Caso generale =====
-Supponiamo valida lipotesi di conservazione delle sezioni piane
-$$ \varepsilon_x = \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y  $$
-SUpponiamo inoltre sia
-$$ \sigma_y = \sigma_z = 0 $$
-Dalla legge costitutiva elastico-lineare ricaviamo la relazione tra $\varepsilon_x$ e $\sigma_x$
-$$ \sigma_x = E \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) $$
-Integriamo le tensioni $\sigma_x$ sulla superficie della sezione $S$, ottenendo
-$$N = \iint \limits_{S} \sigma_x = E \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) \mathrm{d} y \; \mathrm{d} z =
-E \left( \lambda A + S_{y} \, \mu_y + S_{z} \mu_z \right) $$
-$$M_y = E \iint \limits_{S} \sigma_x \, z = \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) z \; \mathrm{d} y \mathrm{d} z = E \left( S_{y} \, \lambda + I_{zz} \, \mu_y +  I_{yz} \, \mu_z \right) $$
-$$M_z =  - \iint \limits_{S} \sigma_x \, z = - E \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) y \; \mathrm{d} y \mathrm{d} z = - E \left( S_{z} \, \lambda + I_{yz} \, \mu_y +  I_{yy} \, \mu_z \right) $$
-In forma matriciale possiamo scrivere
-$$\boldsymbol{f} =
-\begin{pmatrix} N \\ M_y \\ M_z\end{pmatrix} =
-E \begin{bmatrix} A & S_y & S_z \\ S_y & I_{zz} & I_{yz} \\ - S_z & - I_{yz} & - I_{yy}\end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu_y \\ \mu_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{K} \boldsymbol{\eta}$$
-E' definito sistema di riferimento centrale di inerzia della sezione un sistema che sia (vedi la sezione sulla [[scienza_costruzioni:geometria_delle_aree|Geometria delle aree]]):
-  * baricentrico: $S_y = S_z = 0$)
-  * principale di inerzia $I_{yz} = 0$
-Sotto tali ipotesi la matrice $\boldsymbol{K}$ diventa diagonale semplificando drasticamente la relazione tra $\boldsymbol{f}$ ed $\boldsymbol{\eta}$
-$$\boldsymbol{f} =
-\begin{pmatrix} N \\ M_y \\ M_z\end{pmatrix} =
-E \begin{bmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & I_{zz} & 0 \\ 0 & 0 & - I_{yy}\end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu_y \\ \mu_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{K} \boldsymbol{\eta}$$
-Di conseguenza
-$$\lambda = \frac{N}{E \, A} $$
-$$\mu_y = \frac{M_y}{E \, I_{zz}} $$
-$$\mu_z = - \frac{M_z}{E \, I_{yy}} $$
-===== Flessione retta =====

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