scienza_costruzioni:flessione
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scienza_costruzioni:flessione [2021/06/13 13:08] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Flessione ====== | ||
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- | ===== Caso generale ===== | ||
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- | Supponiamo valida lipotesi di conservazione delle sezioni piane | ||
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- | $$ \varepsilon_x = \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y $$ | ||
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- | SUpponiamo inoltre sia | ||
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- | $$ \sigma_y = \sigma_z = 0 $$ | ||
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- | Dalla legge costitutiva elastico-lineare ricaviamo la relazione tra $\varepsilon_x$ e $\sigma_x$ | ||
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- | $$ \sigma_x = E \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) $$ | ||
- | |||
- | Integriamo le tensioni $\sigma_x$ sulla superficie della sezione $S$, ottenendo | ||
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- | $$N = \iint \limits_{S} \sigma_x = E \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) \mathrm{d} y \; \mathrm{d} z = | ||
- | E \left( \lambda A + S_{y} \, \mu_y + S_{z} \mu_z \right) $$ | ||
- | |||
- | |||
- | $$M_y = E \iint \limits_{S} \sigma_x \, z = \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) z \; \mathrm{d} y \mathrm{d} z = E \left( S_{y} \, \lambda + I_{zz} \, \mu_y + I_{yz} \, \mu_z \right) $$ | ||
- | |||
- | $$M_z = - \iint \limits_{S} \sigma_x \, z = - E \iint \limits_{S} \left( \lambda + \mu_y \, z + \mu_z \, y \right) y \; \mathrm{d} y \mathrm{d} z = - E \left( S_{z} \, \lambda + I_{yz} \, \mu_y + I_{yy} \, \mu_z \right) $$ | ||
- | |||
- | In forma matriciale possiamo scrivere | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{f} = | ||
- | \begin{pmatrix} N \\ M_y \\ M_z\end{pmatrix} = | ||
- | E \begin{bmatrix} A & S_y & S_z \\ S_y & I_{zz} & I_{yz} \\ - S_z & - I_{yz} & - I_{yy}\end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu_y \\ \mu_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{K} \boldsymbol{\eta}$$ | ||
- | |||
- | E' definito sistema di riferimento centrale di inerzia della sezione un sistema che è: | ||
- | * baricentrico: | ||
- | * principale di inerzia $I_{yz} = 0$ | ||
- | |||
- | Sotto tali ipotesi la matrice $\boldsymbol{K}$ diventa diagonale semplificando drasticamente la relazione tra $\boldsymbol{f}$ ed $\boldsymbol{\eta}$ | ||
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- | $$\boldsymbol{f} = | ||
- | \begin{pmatrix} N \\ M_y \\ M_z\end{pmatrix} = | ||
- | E \begin{bmatrix} A & 0 & 0 \\ 0 & I_{zz} & 0 \\ 0 & 0 & - I_{yy}\end{bmatrix} \begin{pmatrix} \lambda \\ \mu_y \\ \mu_z\end{pmatrix} = \boldsymbol{K} \boldsymbol{\eta}$$ | ||
- | |||
- | Di conseguenza | ||
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- | $$\lambda = \frac{N}{E \, A} $$ | ||
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- | ===== Flessione retta ===== | ||
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scienza_costruzioni/flessione.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)