Strumenti Utente



scienza_costruzioni:esercizi:soluzione_foglio_5

Foglio N. 5

Esercizio 1

Calcolo matrice cinematica

La matrice cinematica $\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}$ del sistema di travi rispetta la relazione

$$ \begin{bmatrix}C \end{bmatrix} \left( \eta_N \right) = \left( \eta_V \right)$$

in cui:

  • $\left( \eta_N \right)$ è il vettore degli spostamenti dei poli
  • $\left( \eta_V \right)$ è il vettore dei cedimenti vincolari

Scriviamo ora le relazioni che legano gli spostamenti nodali agli spostamenti dei punti estremi di ciascuna delle tre travi che compongono la struttura in esame

  • trave 1

$$ h_A = h_1 + \varphi_1 \frac{l}{2}$$ $$ v_A = v_1$$ $$ h_C^{(1)} = h_1$$ $$ v_C^{(1)} = v_1 + \varphi_1 \frac{l}{2}$$

  • trave 2

$$h_C^{(2)} = h_2$$ $$v_C^{(2)} = v_2 - \varphi_2 \frac{l}{2}$$ $$h_E = h_2 + \varphi_2 \frac{l}{2}$$ $$v_E = v_2$$ $$h_F^{(2)} = h_2$$ $$v_F^{(2)} = v_2 + \varphi_2 \frac{3}{4} l$$

  • trave 3

$$h_F^{(3)} = h_3$$ $$v_F^{(3)} = v_3 - \varphi_3 \frac{3}{4} l$$ $$v_H = v_3$$

Riscrivendo le suddette equazioni in forma matriciale otteniamo

$$\begin{bmatrix} 1& 0& \frac{l}{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\\\ 1& 0& 0& -1& 0& 0& 0& 0& 0\\\\ 0& 1& \frac{l}{2}& 0& -1& \frac{l}{2}& 0& 0& 0\\\\ 0& 0& 0& 1& 0& \frac{l}{2}& 0& 0& 0\\\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0\\\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0& -1& 0& 0\\\\ 0& 0& 0& 0& 1& \frac{3}{4}l& 0& -1& \frac{3}{4}l\\\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0 \end{bmatrix} \left( \begin{matrix} h_1\\\\ v_1\\\\ \varphi_1\\\\ h_2\\\\ v_2\\\\ \varphi_2\\\\ h_3\\\\ v_3\\\\ \varphi_3 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} h_A\\\\ v_A\\\\ h_C^{(1)} - h_C^{(2)}\\\\ v_C^{(1)} - v_C^{(2)}\\\\ h_E\\\\ v_E\\\\ h_F^{(1)} - h_F^{(2)}\\\\ v_F^{(1)} - v_F^{(2)}\\\\ v_H \end{matrix} \right)$$

Dall'uguaglianza con l'equazione $ \begin{bmatrix}C \end{bmatrix} \left( \eta_N \right) = \left( \eta_V \right)$ troviamo la matrice cinematica $\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}$.

Il determinante della matrice $ \begin{bmatrix}C \end{bmatrix}$ trovata è, ponendo $l=1$,

$$\det \begin{bmatrix}C \end{bmatrix} = -\frac{3}{8} \ne 0$$

La matrice cinematica ha rango 9 e quindi la struttura è isostatica.

Calcolo matrice statica

Dobbiamo determinare la matrice statica del sistema di travi dell'esercizio. Dalla teoria sappiamo che la matrice statica $\begin{bmatrix} S \end{bmatrix}$ deve rispettare la condizione

$$ \begin{bmatrix} S \end{bmatrix} \left( F_V \right) + \left( F_N \right) = \left( 0 \right)$$

in cui, oltra alla matrice statica $\begin{bmatrix} S \end{bmatrix}$, abbiamo:

  • $\left( F_V \right)$ vettore delle reazioni vincolari
  • $\left( F_N \right)$ vettore delle forze esterne ridotte ai poli

Applichiamo le equazioni cardinali della statica per le tre travi che compongono la nostra struttura.

  • trave 1

$$\rightarrow \; H_A + H_C - 3 ql = 0$$ $$\uparrow \; V_A + V_C = 0$$ $$\circlearrowleft \; H_A \frac{l}{2} + V_C \frac{l}{2} = 0 $$

  • trave 2

$$\rightarrow \; -H_C + H_E + H_F = 0$$ $$\uparrow \; -V_C + V_E + V_F = 0$$ $$\circlearrowleft \; V_C \frac{l}{2} + H_E \frac{l}{2} + V_F \frac{3}{4} l= 0 $$

  • trave 3

$$\rightarrow \; -H_F - q \frac{l}{2} = 0$$ $$\uparrow \; -V_F + V_H = 0$$ $$\circlearrowleft \; V_F \frac{3}{4} l - q \frac{l^2}{4} = 0$$

Disponiamo infine le suddette equazioni in forma matriciale

$$\begin{bmatrix} 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\\\ 0& 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\\\ \frac{l}{2}& 0 & 0& \frac{l}{2}& 0& 0& 0& 0& 0\\\\ 0& 0& -1& 0& 1& 0& 1& 0& 0\\\\ 0& 0& 0& -1& 0& 1& 0& 1& 0\\\\ 0& 0& 0& \frac{l}{2}& \frac{l}{2}& 0& 0& \frac{3}{4}l& 0\\\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& -1& 0& 0\\\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& -1& 1\\\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \frac{3}{4}l& 0 \end{bmatrix} \left( \begin{matrix} H_A\\\\ V_A\\\\ H_C\\\\ V_C\\\\ H_E\\\\ V_E\\\\ H_F\\\\ V_F\\\\ V_H \end{matrix} \right) = - \left( \begin{matrix} -3ql\\\\ 0\\\\ 0\\\\ 0\\\\ 0\\\\ 0\\\\ -q\frac{l}{2}\\\\ 0\\\\ -q \frac{l^2}{4} \end{matrix} \right) $$

Calcoliamo il determinante della matrice $ \begin{bmatrix}S \end{bmatrix}$ appena trovata

$$\det \begin{bmatrix}S \end{bmatrix} = -\frac{3}{8} \ne 0$$

La matrice ha rango 9, quindi la carattersitica della matrice dei coefficienti è uguale alla caratteristica della matrice orlata, e, per il teroema di Rouché Capelli, il sistema ammette soluzione. Ne deduciamo che la struttura è staticamente determinata.

Notiamo che, avendo costruito il vettore delle forze nodali e il vettore delle reazioni vincolari con lo stesso ordine e con le stesse convenzioni di segno, rispettivamente, del vettore degli spostamenti nodali e del vettore dei cedimenti vincolari, allora vale la relazione

$$ \begin{bmatrix}S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}C \end{bmatrix}^T$$


scienza_costruzioni/esercizi/soluzione_foglio_5.txt · Ultima modifica: 2012/12/02 19:16 (modifica esterna)

Facebook Twitter Google+ Digg Reddit LinkedIn StumbleUpon Email