Consideriamo un sistema costituito da una massa puntuale $m$ in grado di muoversi all'interno di un sistema di riferimento con un solo grado di libertà. Identifichiamo la posizione di detta massa usando una funzione reale del tempo $x(t)$.

$m$ è soggetta:

- ad una forza esterna $F(t)$

- una forza elastica $F_{k}(x) = -k x$

- ed una forza di attrito viscoso $F_{c} \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right) = -c \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$.

Il sistema appena descritto è comunemente denominato oscillatore semplice.

Dal secondo principio della dinamica abbiamo

$$m \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} = - k x - c {\mathrm{d}x}/{\mathrm{d}t} + F(t)$$

con alcuni passaggi arriviamo a

$$m \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} + c \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + k x = F(t)$$

$$m \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} + c \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + k x = m a_{eq}(t)$$

che, ponendo

$$\omega^{2} = \frac{m}{k}$$

$$\zeta = \frac{c}{2 m \omega}$$

diventa

$$\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}} + 2 \zeta \omega \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} + \omega^{2} x = - a(t)$$

Partiamo dal caso di oscillazione libera $$F(t) = 0$$ e condizioni iniziali $${dx}/{dt}(0) = x prime _{0}$$ e $$x(0) = x_{0}$$. L'equazione che descrive il fenomeno diventa:

$${d^{2}x}/{dt^{2}} + 2 zeta omega {dx}/{dt} + omega^{2} x = 0$$

Cerchiamo una soluzione del tipo

$$x(t) = e^{lambda t}$$

Sostituendo quest'ultima nell'equazione differenziale otteniamo un'equazione di secondo grado

$$lambda^{2} + 2 zeta omega lambda + omega^{2} = 0$$

le cui soluzioni sono

$$lambda_{1,2} = - omega (zeta pm sqrt{zeta^{2}-1} )$$

Il discriminante dell'equazione si annulla per $$zeta^{2} - 1 = 0$$, cioé quando il coefficiente di attrito viscoso risulta pari a

$$c = c_{crit} = 2 m omega = 2 m sqrt{k/m} = 2 sqrt{k m}$$

Tale valore è definito smorzamento critico.

Le radici dell'equazione di secondo grado pertanto possono essere:

- reali e distinte $$lambda_{1,2} = - omega (zeta pm sqrt{zeta^{2}-1} )$$; questa condizione si verifica per $$c > c_{crit}$$ (sistema iposmorzato); in tal caso

$$x(t) = C_{1} e^{lambda_{1} t} + C_{2} e^{lambda_{2} t}$$

imponendo le condizioni iniziali troviamo $$C_1$$ e $$C_2$$

$$C_{1} = {lambda_{2} x_{0} - x prime _{0}} / { lambda_{2} - lambda_{1} } = -{omega (zeta - sqrt{zeta^2 -1}) x_0 + x prime _0}/{2 omega sqrt{zeta^2 -1}}$$

$$C_{2} = {lambda_{1} x_{0} - x prime _{0}} / { lambda_{1} - lambda_{2} } = {omega (zeta + sqrt{zeta^2 -1}) x_0 + x prime _0}/{2 omega sqrt{zeta^2 -1}}$$

Si noti che poiché $$omega > 0$$ e $$zeta > 0$$, $$lambda_{1,2} < 0$$; quindi l'integrale appena individuato ha sicuramente l'asse delle ascisse come asintoto orizzontale.

- reali e coincidenti $$lambda_{1} = lambda_{2} = -omega zeta$$; in tal caso $$c = c_{crit}$$ (smorzamento critico); la soluzione dell'equazione è del tipo

$$x(t) = (C_{1} + C_{2}~t) e^{-omega zeta t}$$

Imponendo le condizioni iniziali otteniamo

$$x(t) = (x_{0} + ( x prime _{0} + zeta omega x_{0}) t) e^{-zeta omega t}$$

Anche in questo caso l'asse delle ascisse è un asintoto orizzontale.

- complesse e coniugate $$lambda_{1,2} = -zeta omega pm omega_{d} i$$ con $$omega_{d}=sqrt{1-zeta^{2}} omega$$; questo si verifica per $$c < c_{crit}$$ (sistema iposmorzato); è questo il caso delle strutture che incontriamo nella pratica della tecnica delle costruzioni; sotto queste condizioni la soluzione dell'equazione differenziale è del tipo

$$x(t) = e^{-zeta omega t} (C_{1} cos(omega_{d} t) + C_{2} sin(omega_{d} t) )$$

Moltiplicando e dividendo per $$A = sqrt{{C_1}^2+{C_2}^2}$$, e ponendo

$$cos varphi = {C_1}/{A}$$

$$sin varphi = {C_2}/{A}$$

la funzione diventa

$$x(t) = A e^{-zeta omega t} (cos varphi cos(omega_{d} t) + sin varphi sin(omega_{d} t) )$$

che con un ulteriore passaggio diventa

$$x(t) = A e^{-zeta omega t} cos( omega_{d} t - varphi)$$

Si tratta quindi di una funzione armonica di periodo $${2 pi}/{omega_{d}}$$ modulata da una funzione esponenziale $$e^{-zeta omega t}$$. Pertanto l'asse delle ascisse è asintoto orizzontale dell'integrale appena trovato.

Imponendo le condizioni iniziali nella prima equazione otteniamo

$$x(t) = e^{-zeta omega t} (x_{0} cos(omega_{d} t) + {x prime _{0} + zeta omega x_{0}}/{omega_{d}} sin(omega_{d} t) )$$

Nel paragrafo abbiamo svolto la nostra analisi operando nel campo reale. Per comodità di notazione, oltre che per consuetudine della teoria dei segnali, estenderemo la nostra analisi al campo complesso. A tale scopo risulta però necessario introdurre il concetto di funzione esponenziale complessa, così definito

$$e^{alpha + beta i} = e^{alpha} (cos beta + i sin beta)$$

Passiamo ad analizzare l'equazione introdotta al paragrafo precedente

$${d^{2}x}/{dt^{2}} + 2 zeta omega {dx}/{dt} + omega^{2} x = 0$$

Avendo introdotto la funzione esponenziale in campo complesso non abbiamo bisogno di separare le radici reali da quelle complesse: entrambe hanno le stesse soluzioni:

$$x(t) = C_1 e^{(- zeta omega + omega sqrt{zeta^2-1}) t } + C_2 e^{(- zeta omega - omega sqrt{zeta^2-1}) t }$$

che, nel caso di $$0 <= zeta <= 1$$, può essere scritta anche nella forma

$$x(t) = e^{-zeta omega t} ( C_1 e^{omega_d i t} + C_2 e^{- omega_d i t})$$

Scomponendo $$x(t)$$ nelle sue due componenti, quella reale e quella immaginaria, otteniamo

$$x(t) = e^{-zeta omega t} ( C_1 cos(omega_d t) + C_2 cos(omega_d t) + i (C_1 sin(omega_d t) - C_2 sin(omega_d t)) )$$

Con le stesse posizioni del paragrafo precedente

$$A = sqrt{{C_1}^2+{C_2}^2}$$

$$cos varphi = {C_1}/{A}$$

$$cos varphi = {C_2}/{A}$$

possiamo scrivere

$$x(t) = A e^{-zeta omega t} (cos(omega_d t - varphi) + i sin(omega_d t - varphi))$$

ed infine

$$x(t) = A e^{-zeta omega t} e^{i (omega_d t - varphi)}$$

La funzione $$x(t)$$ è quindi pari al prodotto di una funzione esponenziale reale $$e^{-zeta omega t}$$ per una funzione esponenziale complessa $$e^{i (omega_d t - varphi)}$$, il tutto a meno di una fattore moltiplicativo costante reale $$A$$. La componente reale di quest'equazione è identica alla soluzione trovata al paragrafo precedente.

Passiamo ad analizzare il caso in cui ci sia la presenza di una forzante armonica di periodo $${2 pi}/{omega_{0}}$$ (con, in generale, $$omega <> omega_{0}$$) del tipo

$$F(t) = F_{0} cos(omega_{0} t )$$

L'equazione che descrive il fenomeno diventa pertanto

$$m {d^{2}x}/{dt^{2}} + c {dx}/{dt} + k x = F_{0} cos(omega_0 t)$$

riconducibile alla forma

$${d^{2}x}/{dt^{2}} + 2 zeta omega {dx}/{dt} + {omega}^{2} x = a_{0} cos(omega_0 t)$$

La soluzione della suddetta equazione è data dalla somma dell'integrale generale dell'equazione omogenea associata più un suo integrale particolare. Nel paragrafo precedente abbiamo già risolto l'omogenea associata dell'equazione appensa scritta, pertanto volendo procedere in maniera matematicamente rigorosa potremmo sommare all'integrale trovato precedentemente l'integrale particolare che troveremo nel seguito. In realtà però, poiché l'integrale dell'omogenea associata tende asintoticamente allo zero, di fatto risulta essere fisicamente ininfluente su una funzione periodica che si suppone di durata infinita. Pertanto nel proseguio trascureremo l'integrale dell'omogenea associata concentrandoci sul solo integrale particolare.

Supponiamo che l'integrale particolare dell'equazione sia una funzione armonica del tipo

$$x_{p}(t) = C_1 cos(omega_0 t) + C_2 sin(omega_0 t)$$

e di conseguenza

$${dx_p}/{dt} = -omega_0 (C_1 sin(omega_0 t) - C_2 cos(omega_0 t))$$

$${d^2x_p}/{dt^2} = -omega_{0} ^2 (C_1 cos(omega_0 t) + C_2 sin(omega_0 t))$$

Sostituendo nell'equazione differenziale otteniamo

$$((omega^2 - {omega_0} ^2) C_1 + 2 zeta omega omega_0 C_2) cos(omega_0 t) + (-2 zeta omega omega_0 C_1 + (omega^2 - {omega_0} ^2) C_2) sin(omega_0 t) = a_0 cos(omega_0 t)$$

Questa uguaglianza è verificata solo se

$$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{( omega^2 - {omega_0}^{2})C_1 + 2 zeta omega omega_0 C_2 = a_0} {-2 zeta omega omega_0 C_1+( omega^2 - {omega_0} ^2)C_2=0} }}{}$$

Risolvendo il suddetto sistema otteniamo

$$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{C_1={omega^2 - {omega_0}^2}/{4 zeta^2 omega^2 {omega_0}^2+(omega^2-{omega_0}^2)^2} a_0} {C_2={2 zeta omega omega_0}/{4 zeta^2 omega^2 {omega_0}^2+(omega^2-{omega_0}^2)^2} a_0} }}{}$$

portandoci così all'integrale

$${x_p}(t)= {{omega^2 - {omega_0}^2}/{4 zeta^2 omega^2 {omega_0}^2+(omega^2-{omega_0}^2)^2} a_0} cos(omega_0 t) + {{2 zeta omega omega_0}/{4 zeta^2 omega^2 {omega_0}^2+(omega^2-{omega_0}^2)^2} a_0} sin(omega_0 t)$$

con la posizione

$${matrix{2}{1}{{cos varphi = {omega^2 - {omega_0}^2}/sqrt{4 zeta^2 omega^2 {omega_0}^2+(omega^2-{omega_0}^2)^2}} {sin varphi = {2 zeta omega omega_0}/sqrt{4 zeta^2 omega^2 {omega_0}^2+(omega^2-{omega_0}^2)^2}} }}{}$$

l'integrale diventa

$${x_p} (t) = {{a_0}/sqrt{4 zeta^2 omega^2 {omega_0}^2+(omega^2-{omega_0}^2)^2}} cos(omega_0 t - varphi)$$

Con l'ulteriore posizione

$$nu = {omega_0}/{omega}$$

e

$$delim{|}{H}{|} = {{1}/sqrt{4 zeta^2 nu^2 +(1-nu^2)^2}}$$

arriviamo infine a scrivere l'integrale nella forma

$$x_p (t) = {a_0 delim{|}{H}{|}}/{omega^2} cos(omega_0 t - varphi)$$

$$nu$$ è definito frequenza relativa della forzante rispetto alla frequenza propria dell'oscillatore in quanto è pari al rapporto tra le rispettive frequenze.

il termine di sfasamento $$varphi$$ è dato da

$$varphi = tg^{-1} ( {2 zeta omega omega_0}/{omega^2 - {omega_0}^2})$$

$$delim{|}{H}{|}(nu)$$ è definito fattore di amplificazione della risposta statica e dipende quindi da $$nu$$

Studiamo quest'ultima funzione calcolandone la derivata prima

$${d delim{|}{H}{|}}/{d nu} = {2 (1 - 2 zeta^2 - nu^2) nu}/{(( 1 - nu^2 )^2 + 4 zeta^2 nu ^2)^{3/2}}$$

Studiando il segno della suddetta equazione scopriamo che la funzione ha pendenza iniziale nulla in $$(0,1)$$. Per $$nu right infty$$ si ha che $$delim{|}{H}{|} right 0$$. Infine se $$0<nu<{sqrt{2}}/{2}$$, la funzione ha un massimo per $$nu=sqrt{1-2zeta^2}$$.

Nel caso in cui $$zeta = 0$$, la retta $$nu = 1$$ è asintoto verticale della funzione, vale a dire che, in caso di attrito viscoso nullo o molto piccolo, se la forzante ha un periodo prossimo al periodo proprio dell'oscillatore, la risposta del sistema diventa molto grande.

Applicando il procedimento appena descritto al caso di forzante sinusoidale

$${d^{2}x}/{dt^{2}} + 2 zeta omega {dx}/{dt} + {omega}^{2} x = b_{0} sin(omega_0 t)$$

arriviamo a trovare l'integrale particolare

$$x_p (t) = {b_0 delim{|}{H}{|}}/{omega^2} sin(omega_0 t - varphi)$$

Nel caso generale di funzione periodica armonica qualsiasi, l'equazione che descrive il fenomeno è

$${d^{2}x}/{dt^{2}} + 2 zeta omega {dx}/{dt} + {omega}^{2} x = a_{0} cos(omega_0 t) + b_{0} sin(omega_0 t)$$

Applicando il principio di sovrapposizione, l'integrale della suddetta equazione è

$$x_p (t) = {delim{|}{H}{|}}/{omega^2} ( a_0 cos(omega_0 t - varphi) + b_0 sin(omega_0 t - varphi) )$$

Consideriamo una forzante periodica generica $$F(t)$$di periodo $${2 pi}/{omega}$$. Sviluppandola in serie otteniamo

$$F(t) = A_0 + sum{n=1}{+infty} ({A_{n} cos(n omega t)+B_{n} sin(n omega t)})$$

in cui

$$A_0 = {omega}/{pi} int{-{pi}/{omega}}{{pi}/{omega}}{F(t) dt}$$

$$A_n = {omega}/{2 pi} int{-{pi}/{omega}}{{pi}/{omega}}{F(t) cos(nt) dt}$$

$$B_n = {omega}/{2 pi} int{-{pi}/{omega}}{{pi}/{omega}}{F(t) sin(nt) dt}$$

Applicando quanto visto al precedente paragrafo otteniamo che l'integrale dell'equazione

$${d^{2}x}/{dt^{2}} + 2 zeta omega {dx}/{dt} + {omega}^{2} x = F(t)$$

è

$$x_{p} (t) = {delim{|}{H}{|}}/{omega^2} (A_0 cos varphi + sum{n=1}{+infty} {A_{n} cos(n omega t - varphi)+B_{n} sin(n omega t - varphi)} )$$

Facendo invece ricorso alla notazione complessa, lo sviluppo in serie di Fourier della nostra funzione $$F(t)$$ è

$$F(t) = sum{n=-infty}{+infty} {C_{n} e^{n omega i t}}$$

in cui

$$C_n = {omega}/{2 pi} int{-T/2}{T/2}{F(t) e^{- j n omega t} dt}$$

L'integrale dell'equazione è allora

$$x_{p} (t) = {delim{|}{H}{|}}/{omega^2} (sum{n=-infty}{+infty} {C_{n} e^{j n omega t - varphi}} )$$

Per determinare la funzione $$x(t)$$ che descrive lo spostamento del nostro oscillatore semplice nel caso di forzante aperiodica, partiamo considerando il caso dell'oscillazione libera con condizione iniziale

$$x (tau) = 0$$

$$x prime (tau) = x prime_{tau}$$

Sfruttando quanto già visto, lo spostamento $$x(t)$$ è dato da

$$x(t) = 1/{omega_{d}} e^{-zeta omega (t-tau)} sin(omega_{d} (t-tau)) x prime_{tau}$$

Supponendo che $$dx prime_{tau}$$ sia la conseguenza di una forzante aperiodica $$F(tau)$$, possiamo esprimere la variazione di velocità al tempo $$tau$$ nella forma

$$dx prime_{tau} = {d^2 x}/{d tau} (tau) d tau= {F(tau)}/{m} d tau$$

ottenendo quindi lo spostamento

$$dx(t) = 1/{omega_{d}} e^{-zeta omega (t-tau)} sin(omega_{d} (t-tau)) dx prime_{tau} = 1/{omega_{d}} e^{-zeta omega (t-tau)} sin(omega_{d} (t-tau)) {F(tau)}/{m} d tau$$

Se al tempo $$t=0$$ si ha anche

$$x(0)= 0$$

$$x prime(0)= 0$$

lo spostamento al tempo $$t$$ lo calcoiamo integrando il suddetto differenziale

$$x(t) = 1/{omega_{d}} int{0}{t}{e^{-zeta omega (t-tau)} sin(omega_{d} (t-tau)) {F(tau)}/{m} d tau}$$

Nel caso invece

$$x(0)= x_{0}$$

$$x prime(0)= x prime_{0}$$

abbiamo

$$x(t) = e^{-zeta omega t} (x_{0} cos(omega_{d} t) + {x prime _{0} + zeta omega x_{0}}/{omega_{d}} sin(omega_{d} t) ) + 1/{omega_{d}} int{0}{t}{e^{-zeta omega (t-tau)} sin(omega_{d} (t-tau)) {F(tau)}/{m} d tau}$$

Nel caso di moto indotto da un sisma ci si trova nella prima condizione, con velocità e spostamento nulli, pertanto ci concentriamo su questa soluzione. La suddetta formula può scriversi anche nella forma

$$x(t) = 1/{omega_{d}} int{0}{t}{e^{-zeta omega t} e^{zeta omega tau} ( sin(omega_{d} t) cos (omega_d tau) - cos(omega_{d} t) sin (omega_d tau)) {F(tau)}/{m} d tau} =$$ $$x(t) = e^{-zeta omega t}/{m omega_{d}} (sin(omega_{d} t) int{0}{t}{e^{zeta omega tau} cos (omega_d tau) d tau} - cos(omega_{d} t) int{0}{t}{e^{zeta omega tau} sin (omega_d tau) d tau})$$

che con le posizioni

$$A(t) = \int \limits_{0}^{t} e^{\zeta \omega \tau} \cos (\omega_d \tau) \mathrm{d} \tau$$

$$B(t) = \int \limits_{0}^{t} e^{\zeta \omega \tau} \sin (\omega_d \tau) \mathrm{d} \tau$$

diventa

$$x(t) = e^{-\zeta \omega t}/{m \omega_{d}} (A(t) \sin(\omega_{d} t) - B(t) \cos(\omega_{d} t))$$

Sia $X(f)$ la trasformata di Fourier di $F(t)$, in cui $F(t)$ è la nostra forzante aperiodica. Essendo $F(t)$ una funzione reale, $$X(f)$$ è una funzione simmetrica. Per la definizione di trasformata di Fourier, $F(t)$ può essere espressa come

$$F(t) = m \int \limits_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi f t} \mathrm{d}f$$