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Oscillatore a più gradi di libertà
Equazione dell'equilibrio dinamico
Lo stato di equilibrio dinamico di un sistema elastico lineare ad $n$ gradi di libertà viene descritto attraverso il seguente sistema di equazioni differenziali
$$\boldsymbol{M} \, \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{C} \, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{K} \, \boldsymbol{x} = \boldsymbol{f}(t)$$
Proprietà delle matrici [M] e [K]
L'energia cinetica del nostro sistema è data da
$$E_c= \frac{1}{2} \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{x} \right)^T \boldsymbol{M} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \boldsymbol{x}\ge 0 $$
Poiché l'energia cinetica deve essere sempre positiva, la matrice $\boldsymbol{M}$ è definita positiva.
Analogamente l'energia potenziale elastica del nostro sistema è data da
$$U_{el} = \frac{1}{2} \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{K} \boldsymbol{x} \ge 0$$
quindi anche la matrice $\boldsymbol{K}$ è definita positiva.
Per dimostrare la simmetria della matrice $\boldsymbol{M}$ consideriamo la nostra struttura in due configurazioni, una prima soggetta a spostamenti nodali tutti nulli, tranne lo spostamento i-esimo
$$\left( \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \eta_i \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right) $$
ed una seconda soggetta a spostamenti nodali tutti nulli tranne il j-esimo
$$\left( \begin{matrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \eta_j \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right) $$
Applicando il teorema di reciprocità o di Betti-Maxwell abbiamo che
$${F_j} {\eta_j} = {F_i} {\eta_i}$$
che passando attraverso la matrice di rigidezza diventa
$$k_{j,i} {\eta_{i}} {\eta_j} = k_{i,j} {\eta_j} {\eta_i}$$
da cui infine
$$k_{j,i} = k_{i,j}$$
che dimostra la simmetria della matrice di rigidezza $\boldsymbol{K}$.