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Deformazioni impresse
L'ipotesi elastico lineare introduce un legame tra tensioni e deformazioni che in prima battuta abbiamo supposto essere del tipo
$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}$$
La teoria delle deformazioni impresse modifica la suddetta relazione che diventa
$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right)$$
in cui è stato introdotto il vettore $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}} (x,y,z)$ delle deformazioni impresse.
Per comodità di trattazione definiamo:
- deformazioni totali $\boldsymbol{\varepsilon}_{tot}$: le deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}$ tout-court
- deformazioni elastiche $\boldsymbol{\varepsilon}_{el} = \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$: la differenza tra le deformazioni totali e quelle elastiche.
E' quindi possibile riscrivere il legame costitutivo elastico lineare nella forma
$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right) = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_{el}$$
Le deformazioni impresse applicate ad una struttura possono essere, con riferimento alle equazioni di congruenza di un solido:
- congruenti, rispettano le equazioni di congruenza; infatti se assumiamo $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}} = \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$, per ipotesi anche $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}}$ rispetta le equazioni di congruenza; conseguentemente $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}} = \boldsymbol{0}$; notiamo che, per il teorema di Kirchhoff, la soluzione indicata è unica;
- non congruenti, non rispettano le equazioni di congruenza; affinché le $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}}$ rispettino le equazioni di congruenza dovranno nascere delle $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}} \ne \boldsymbol{0}$ cui saranno associate delle $\boldsymbol{\sigma}$.
Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, le deformazioni impresse possono essere:
- compatibili, rispettano i vincoli esterni;
- incompatibili, non rispettano i vincoli esterni.
Nel caso di strutture isostatiche avremo sempre deformazioni impresse compatibili.
Deformazioni impresse non congruenti applicate a travi
Pressoflessione retta
Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa non congruente applicata lungo l'asse della trave
$$\boldsymbol{\bar{\varepsilon}} (y,z) = \left( \begin{matrix} \bar{\varepsilon}_{x} (y,z)\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)$$
applicata in maniera non uniforme
Le deformazioni elastiche sono date da
$$\varepsilon_{tot,x} = \lambda + \mu_{y} \, z = \varepsilon_{el,x} + \bar{\varepsilon}_{x} \Longrightarrow \varepsilon_{el,x} = \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}$$
Imponiamo l'equilibrio a traslazione
$$N = \iint \limits_{A} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A = \iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el,x} \; \mathrm{d}A = \iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}A = \\ = \lambda \iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A $$
e a rotazione
$$M_{y} = \iint \limits_{A} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}A = \iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}A = \iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}A \\ = \lambda \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A} E \, z^2 \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A $$
Ponendo l'origine del sistema di riferimento $yOz$ nel baricentro della sezione omogeneizzata, annulliamo i momenti statici
$$S_{n,y} = \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A = 0$$
Le relazioni viste sopra ci permettono di scrivere
$$\lambda = \frac{ N}{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} + \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A}$$
$$\mu_{y} = \frac{ M_{y} }{\iint \limits_{A} E \, z^2 \; \mathrm{d}A} + \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \, z^2 \; \mathrm{d}A} $$
Esempio applicativo
Consideriamo l'effetto di un ritiro dello 0,4‰ su una sezione in c.a. di dimensioni 300mm x 350mm, con 4 barre ⌀ 16 disposte sia superiormente che inferiormente.
Nell'ipotesi non siano presenti azioni esplicite e adottando le notazioni viste sopra, avremo
$$\lambda = \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} = \frac{E_c \, A_c}{E_c \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} = - \frac{32.837 \cdot 105.000}{32.837 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,366‰ $$
$$\mu_{y} = 0 $$
Considerando invece l'effetto del fluage, assumendo $\phi(t_0, \infty) = 2$, avremo
$$\lambda = \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} = \frac{E_{c,\phi} \, A_c}{E_{c,\phi} \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} = - \frac{10.946 \cdot 105.000}{10.946 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,313‰ $$
riducendo il valore ottenuto nel caso precedente.
Dovendo utilizzare tali valori per la verifica globale di una struttura, abbiamo il problema di tradurre i suddetti valori di deformazione in carichi termici equivalenti. Nel nostro caso avremmo
$$\Delta T_{eq} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0,366‰}{10^{-5} °C^{-1}} = - 36,6 °C$$
nel breve periodo. Nel lungo periodo, tenendo conto dell'effetto del fluage,
$$\Delta T_{eq,\phi} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0,313‰}{10^{-5} °C^{-1}} = - 31,3 °C$$
Il carico termico equivalente risulta quindi essere tutt'altro che trascurabile.