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mickele [Pressofelssione retta]
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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
 ====== Deformazioni impresse ======
-Le deformazioni impressa applicate ad una struttura possono essere, con riferimento alle equazioni di compatibilità di un solido:
+L'ipotesi elastico lineare introduce un legame tra tensioni e deformazioni che in prima battuta abbiamo supposto essere del tipo
-  * **congruenti**, rispettano le equazioni di congruenza; se applicate a struttura isostatiche non determinano l'insorgere di uno stato tensionale;
-  * **non congruenti**, non essendo compatibili, anche se applicate a strutture isostatiche determinano l'insorgere di deformazioni elastiche e tensioni; siccome tali tensioni non sono determinate da forze esterne, sono dette autotensioni.
+$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}$$
+La teoria delle deformazioni impresse modifica la suddetta relazione che diventa
+$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right)$$
+in cui è stato introdotto il vettore $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}} (x,y,z)$ delle **deformazioni impresse**.
+Per comodità di trattazione definiamo:
+  * **deformazioni totali** $\boldsymbol{\varepsilon}_{tot}$: le deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}$ tout-court
+  * **deformazioni elastiche** $\boldsymbol{\varepsilon}_{el} = \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$: la differenza tra le deformazioni totali e quelle elastiche.
+E' quindi possibile riscrivere il legame costitutivo elastico lineare nella forma
+$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right) = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_{el}$$
+Le deformazioni impresse $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$ applicate ad una struttura possono essere, con riferimento alle equazioni di congruenza di un solido:
+  * //congruenti//, vale a dire che $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$ rispetta le equazioni di congruenza; sotto tale ipotesi, se assumiamo $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}} = \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$, anche $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}}$ rispetta le equazioni di congruenza; conseguentemente $\boldsymbol{\varepsilon_{el}} = \boldsymbol{0}$; notiamo che, per il teorema di Kirchhoff, la soluzione indicata è unica;
+  * //non congruenti//, ossia $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$ non rispetta le equazioni di congruenza; affinché le $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}}$ rispettino le equazioni di congruenza sarà perciò necessario introdurre delle $\boldsymbol{\varepsilon_{el}} \ne \boldsymbol{0}$ cui saranno associate delle $\boldsymbol{\sigma}$.
 Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, le deformazioni impresse possono essere:
-  * **compatibili**, rispettano i vincoli esterni;
+  * //compatibili//, rispettano i vincoli esterni;
-  * **incompatibili**, non li rispettano.
+  * //incompatibili//, non rispettano i vincoli esterni.
+Nel caso di strutture isostatiche avremo sempre deformazioni impresse compatibili.
 ===== Deformazioni impresse non congruenti applicate a travi =====
@@ Linea 13: / Linea 34: @@
 ==== Pressoflessione retta ====
-Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa non congruente applicata lungo l'asse della trave
+Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa variabile $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$. Supponiamo inoltre che le deformazioni $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$ siano non congruenti, ossia che non rispettino le equazioni di congruenza. Di fatto questo equivale a dire che $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$ è una funzione non lineare lineare in $y$ e $z$.
-$$\boldsymbol{\bar{\varepsilon}} (y,z) = \left(
-\begin{matrix}
-\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)\\
-\\
-\\
-\\
-\\
-\\
-\end{matrix} \right)$$
-applicata in maniera non uniforme
 Le deformazioni elastiche sono date da
-$$\varepsilon_{tot,x} = \lambda + \mu_{y} \, z = \varepsilon_{el,x} + \bar{\varepsilon}_{x}
+$$\varepsilon_{tot,x} = \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z = \varepsilon_{el,x} + \bar{\varepsilon}_{x}
 \Longrightarrow
-\varepsilon_{el,x} = \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}$$
+\varepsilon_{el,x} = \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}$$
 Imponiamo l'equilibrio a traslazione
-$$N = \iint \limits_{A} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A =
+$$N = \iint \limits_{S} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A =
-\iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el,x} \; \mathrm{d}A =
+\iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el,x} \; \mathrm{d}A =
-\iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}A = \\
+\iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
-= \lambda \iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A}  E \, z \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A $$
+= \lambda \iint \limits_{S} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{z} \iint \limits_{S}  E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{y} \iint \limits_{S}  E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \iint \limits_{S} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z $$
 e a rotazione
-$$M_{y} = \iint \limits_{A} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}A =
+$$M_{y} = \iint \limits_{S} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
-\iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}A =
+\iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
-\iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}A \\
+\iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\
-= \lambda \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A}  E \, z^2 \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A $$
+= \lambda \iint \limits_{S} E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{z} \iint \limits_{S}  E \, y \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{y} \iint \limits_{S}  E \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \iint \limits_{S} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z $$
+$$M_{z} = - \iint \limits_{S} \sigma_x \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
+- \iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
+- \iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, y\; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\
+= - \lambda \iint \limits_{S} E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \mu_{z} \iint \limits_{S}  E \, y^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \mu_{y} \iint \limits_{S}  E \, y \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \iint \limits_{S} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z $$
+Ruotiamo e trasliamo il sistema di riferimento della sezione di modo che coincida con il sistema centrale di inerzia della stessa omogeneizzata (vedi sezione su [[scienza_costruzioni:geometria_delle_aree|Geometria delle aree]] di modo da avere
+$$ \iint \limits_{S_C} E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S_C} E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S_C} E \, y \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 0$$
+Le relazioni viste sopra diventano
+$$\lambda_C =
+\frac{ N}{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} +
+\frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$
+$$\mu_{C,y} =
+\frac{ 1 }{\iint \limits_{S_C}  E \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} \left( M_{C,y} +
+\iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C,x} \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \right) $$
+$$\mu_{C,z} =
+- \frac{ 1 }{\iint \limits_{S_C}  E \, y^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} \left( M_{C,z} +
+\iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C,x} \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \right) $$
+Con le posizioni
+$$\bar{\lambda}_C = \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$
+$$\bar{\mu}_{C,y} = \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C,x} \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z } { \iint \limits_{S_C}  E \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z } $$
-Ponendo l'origine del sistema di riferimento $yOz$ nel baricentro della sezione omogeneizzata, annulliamo i momenti statici
+$$\bar{\mu}_{C,z} = - \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C,x} \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C}  E \, y^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} $$
-$$S_{n,y} = \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A = 0$$
+possiamo scrivere
-Le relazioni viste sopra ci permettono di scrivere
+$$\lambda_C = \frac{ N}{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + \bar{\lambda}_C$$
-$$\lambda =
+$$\mu_{C,y} =
-\frac{ N}{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} +
+\frac{ M_{C,y} }{\iint \limits_{S_C}  E \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + \bar{\mu}_{C,y} $$
-\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A}$$
-$$\mu_{y} =
+$$\mu_{C,z} =
-\frac{ M_{y} }{\iint \limits_{A}  E \, z^2 \; \mathrm{d}A} +
+- \frac{  M_{C,z} }{\iint \limits_{S_C}  E \, y^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + \bar{\mu}_{C,z} $$
-\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A}  E \, z^2 \; \mathrm{d}A} $$
 ==== Esempio applicativo ====

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