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Deformazioni impresse
Le deformazioni impressa applicate ad una struttura possono essere, con riferimento alle equazioni di compatibilità di un solido:
- congruenti, rispettano le equazioni di congruenza; se applicate a struttura isostatiche non determinano l'insorgere di uno stato tensionale;
- non congruenti, non essendo compatibili, anche se applicate a strutture isostatiche determinano l'insorgere di deformazioni elastiche e tensioni; siccome tali tensioni non sono determinate da forze esterne, sono dette autotensioni.
Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, le deformazioni impresse possono essere:
- compatibili, rispettano i vincoli esterni;
- incompatibili, non li rispettano.
Deformazioni impresse non congruenti applicate a travi
Pressofelssione retta
Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa non congruente
$$\boldsymbol{\bar{\varepsilon}} (y,z) = \left( \begin{matrix} \bar{\varepsilon}_{x} (y,z)\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)$$
applicata in maniera non uniforme
Le deformazioni elastiche sono date da
$$\varepsilon_{tot,x} = \lambda + \mu_{y} \, z = \varepsilon_{el,x} + \bar{\varepsilon}_{x} \Longrightarrow \varepsilon_{el,x} = \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}$$
Imponiamo l'equilibrio a traslazione
$$N = \iint \limits_{A} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A = \iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el,x} \; \mathrm{d}A = \iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}A = \\ = \lambda \iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A $$
e a rotazione
$$M_{y} = \iint \limits_{A} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}A = \iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}A = \iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}A \\ = \lambda \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A} E \, z^2 \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A $$
Ponendo l'origine del sistema di riferimento $yOz$ nel baricentro della sezione omogeneizzata, annulliamo i momenti statici
$$S_{n,y} = \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A = 0$$
Le relazioni viste sopra ci permettono di scrivere
$$\lambda = \frac{ N}{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} + \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A}$$
$$\mu_{y} = \frac{ M_{y} }{\iint \limits_{A} E \, z^2 \; \mathrm{d}A} + \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \, z^2 \; \mathrm{d}A} $$
Esempio applicativo
Consideriamo l'effetto di un ritiro dello 0,4‰ su una sezione in c.a. di dimensioni 300mm x 350mm, con 4 barre ⌀ 16 sia superiormente che inferiormente.
Nell'ipotesi non siano presenti azioni agenti, adottando le notazioni viste sopra, avremo
$$\lambda = \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} = \frac{E_c \, A_c}{E_c \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} = \frac{32.837 \cdot 105.000}{32.837 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = 0,366‰ $$
$$\mu_{y} = 0 $$
Considerando invece l'effetto del fluage, assumendo $\phi(t_0, \infty) = 2$, avremo
$$\lambda = \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} = \frac{E_{c,\phi} \, A_c}{E_{c,\phi} \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} = \frac{10.946 \cdot 105.000}{10.946 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = 0,313‰ $$