Le deformazioni impressa applicate ad una struttura possono essere, con riferimento alle equazioni di compatibilità di un solido:

• congruenti, rispettano le equazioni di congruenza; se applicate a struttura isostatiche non determinano l'insorgere di uno stato tensionale;
• non congruenti, non essendo compatibili, anche se applicate a strutture isostatiche determinano l'insorgere di deformazioni elastiche e tensioni; siccome tali tensioni non sono determinate da forze esterne, sono dette autotensioni.

Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, le deformazioni impresse possono essere:

• compatibili, rispettano i vincoli esterni;
• incompatibili, non li rispettano.

Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa non congruente

$$\boldsymbol{\bar{\varepsilon}} (y,z) = \left( \begin{matrix} \bar{\varepsilon}_{x} (y,z)\\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)$$

applicata in maniera non uniforme

Le deformazioni elastiche sono date da

$$\varepsilon_{tot,x} = \lambda + \mu_{y} \, z = \varepsilon_{el,x} + \bar{\varepsilon}_{x} \Longrightarrow \varepsilon_{el,x} = \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}$$

Imponiamo l'equilibrio a traslazione

$$N = \iint \limits_{A} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A = \iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el,x} \; \mathrm{d}A = \iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}A = \\ = \lambda \iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A $$

e a rotazione

$$M_{y} = \iint \limits_{A} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}A = \iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}A = \iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}A \\ = \lambda \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A} E \, z^2 \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A $$

Ponendo l'origine del sistema di riferimento $yOz$ nel baricentro della sezione omogeneizzata, annulliamo i momenti statici

$$S_{n,y} = \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A = 0$$

Le relazioni viste sopra ci permettono di scrivere

$$\lambda = \frac{ N}{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} + \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A}$$

$$\mu_{y} = \frac{ M_{y} }{\iint \limits_{A} E \, z^2 \; \mathrm{d}A} + \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \, z^2 \; \mathrm{d}A} $$