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scienza_costruzioni:deformazioni_impresse

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mickele [Esempi applicativi]
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Linea 1: Linea 1:
 ====== Deformazioni impresse ====== ====== Deformazioni impresse ======
  
-Le deformazioni impressa applicate ad una struttura possono essere, con riferimento alle equazioni di compatibilità di un solido: +L'ipotesi elastico lineare introduce un legame tra tensioni e deformazioni che in prima battuta abbiamo supposto essere del tipo 
-  * **congruenti**rispettano le equazioni di congruenza; se applicate a struttura isostatiche non determinano l'insorgere di uno stato tensionale+ 
-  * **non congruenti**, non essendo compatibili, anche se applicate a strutture isostatiche determinano l'insorgere di deformazioni elastiche e tensionisiccome tali tensioni non sono determinate da forze esterne, sono dette autotensioni.+$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}$$ 
 + 
 +La teoria delle deformazioni impresse modifica la suddetta relazione che diventa 
 + 
 +$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right)$$ 
 + 
 +in cui è stato introdotto il vettore $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}} (x,y,z)$ delle **deformazioni impresse**. 
 + 
 +Per comodità di trattazione definiamo: 
 +  * **deformazioni totali** $\boldsymbol{\varepsilon}_{tot}$: le deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}$ tout-court 
 +  * **deformazioni elastiche** $\boldsymbol{\varepsilon}_{el} = \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$: la differenza tra le deformazioni totali e quelle elastiche. 
 + 
 +E' quindi possibile riscrivere il legame costitutivo elastico lineare nella forma 
 + 
 +$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right) = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_{el}$$ 
 + 
 + 
 +Le deformazioni impresse $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$ applicate ad una struttura possono essere, con riferimento alle equazioni di congruenza di un solido: 
 +  * //congruenti//vale a dire che $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$ rispetta le equazioni di congruenza; sotto tale ipotesi, se assumiamo $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}} = \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$, anche $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}}$ rispetta le equazioni di congruenza; conseguentemente $\boldsymbol{\varepsilon_{el}} = \boldsymbol{0}$; notiamo che, per il teorema di Kirchhoff, la soluzione indicata è unica
 +  * //non congruenti//ossia $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$ non rispetta le equazioni di congruenzaaffinché le $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}}$ rispettino le equazioni di congruenza sarà perciò necessario introdurre delle $\boldsymbol{\varepsilon_{el}} \ne \boldsymbol{0}$ cui saranno associate delle $\boldsymbol{\sigma}$.
  
 Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, le deformazioni impresse possono essere: Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, le deformazioni impresse possono essere:
-  * **compatibili**, rispettano i vincoli esterni; +  * //compatibili//, rispettano i vincoli esterni; 
-  * **incompatibili**, non li rispettano.+  * //incompatibili//, non rispettano i vincoli esterni.
  
-===== Esempi applicativi =====+Nel caso di strutture isostatiche avremo sempre deformazioni impresse compatibili.
  
-Consideriamo una sezione soggetta pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z 0$) e ad una deformazione impressa incongruente +===== Deformazioni impresse non congruenti applicate travi =====
  
-$$\boldsymbol{\bar{\varepsilon}} (y,z) \left(  +==== Pressoflessione retta ====
-\begin{matrix} +
-\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)\\  +
-0 \\ +
-0 \\ +
-0 \\ +
-0 \\ +
-0 \\ +
-\end{matrix} \right)$$ +
  
-applicata in maniera non uniforme+Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa variabile $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$. Supponiamo inoltre che le deformazioni $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$ siano non congruenti, ossia che non rispettino le equazioni di congruenza. Di fatto questo equivale a dire che $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$ è una funzione non lineare lineare in $y$ e $z$.
  
 Le deformazioni elastiche sono date da Le deformazioni elastiche sono date da
  
-$$\varepsilon_{tot,x} = \lambda + \mu_{y} \, z = \varepsilon_{el,x} + \bar{\varepsilon}_{x} +$$\varepsilon_{tot,x} = \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z = \varepsilon_{el,x} + \bar{\varepsilon}_{x} 
 \Longrightarrow \Longrightarrow
-\varepsilon_{el,x} = \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}$$+\varepsilon_{el,x} = \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}$$
  
 Imponiamo l'equilibrio a traslazione Imponiamo l'equilibrio a traslazione
  
-$$N = \iint \limits_{A} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A = +$$N = \iint \limits_{S} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A = 
-\iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el,x} \; \mathrm{d}A = +\iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el,x} \; \mathrm{d}A = 
-\iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}= \\ +\iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\ 
-= \lambda \iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}+ \mu_{y} \iint \limits_{A}  E \, z \; \mathrm{d}- \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}$$+= \lambda \iint \limits_{S} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{z} \iint \limits_{S}  E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{y} \iint \limits_{S}  E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \iint \limits_{S} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z $$
  
 e a rotazione e a rotazione
  
-$$M_{y} = \iint \limits_{A} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}+$$M_{y} = \iint \limits_{S} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z 
-\iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}+\iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z 
-\iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}\\ +\iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\ 
-= \lambda \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}+ \mu_{y} \iint \limits_{A}  E \, z^2 \; \mathrm{d}- \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}$$+= \lambda \iint \limits_{S} E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{z} \iint \limits_{S}  E \, y \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{y} \iint \limits_{S}  E \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \iint \limits_{S} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z $$
  
-Ponendo l'origine del sistema di riferimento $yOznel baricentro della sezione omogeneizzataannulliamo i momenti statici+$$M_{z} = - \iint \limits_{S} \sigma_x \y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 
 +- \iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 
 +- \iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, y\; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\ 
 += - \lambda \iint \limits_{S} E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \mu_{z} \iint \limits_{S}  E \, y^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \mu_{y} \iint \limits_{S}  E \, y \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \iint \limits_{S} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z $$
  
-$$S_{n,y} = \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A = 0$$+Ruotiamo e trasliamo il sistema di riferimento della sezione di modo che coincida con il sistema centrale di inerzia della stessa omogeneizzata (vedi sezione su [[scienza_costruzioni:geometria_delle_aree|Geometria delle aree]] di modo da avere
  
-Le relazioni viste sopra ci permettono di scrivere+$$ \iint \limits_{S_C} E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S_C} E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S_C} E \, y \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 0$$ 
 + 
 +Le relazioni viste sopra diventano 
 + 
 +$$\lambda_C =  
 +\frac{ N}{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} +  
 +\frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$ 
 + 
 +$$\mu_{C,y} =  
 +\frac{ 1 }{\iint \limits_{S_C}  E \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} \left( M_{C,y} +  
 +\iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C,x} \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \right) $$ 
 + 
 +$$\mu_{C,z} =  
 +- \frac{ 1 }{\iint \limits_{S_C}  E \, y^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} \left( M_{C,z} +  
 +\iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C,x} \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \right) $$ 
 + 
 +Con le posizioni 
 + 
 +$$\bar{\lambda}_C = \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$ 
 + 
 +$$\bar{\mu}_{C,y} = \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C,x} \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z } { \iint \limits_{S_C}  E \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z } $$ 
 + 
 +$$\bar{\mu}_{C,z} = - \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C,x} \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C}  E \, y^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} $$ 
 + 
 +possiamo scrivere 
 + 
 +$$\lambda_C = \frac{ N}{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + \bar{\lambda}_C$$ 
 + 
 +$$\mu_{C,y} =  
 +\frac{ M_{C,y} }{\iint \limits_{S_C}  E \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + \bar{\mu}_{C,y} $$ 
 + 
 +$$\mu_{C,z} =  
 +- \frac{  M_{C,z} }{\iint \limits_{S_C}  E \, y^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + \bar{\mu}_{C,z} $$ 
 + 
 +==== Esempio applicativo ==== 
 + 
 +Consideriamo l'effetto di un ritiro dello 0,4‰ su una sezione in c.a. di dimensioni 300mm x 350mm, con 4 barre ⌀ 16 disposte sia superiormente che inferiormente. 
 + 
 +Nell'ipotesi non siano presenti azioni esplicite e adottando le notazioni viste sopra, avremo
  
 $$\lambda =  $$\lambda = 
-\frac{ N}{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} +  +\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} 
-\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A}$$+\frac{E_c \, A_c}{E_c \, A_c E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} = 
 +- \frac{32.837 \cdot 105.000}{32.837 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,366‰ 
 +$$ 
 + 
 +$$\mu_{y} = 0 $$ 
 + 
 +Considerando invece l'effetto del fluage, assumendo $\phi(t_0, \infty) = 2$, avremo 
 + 
 +$$\lambda =  
 +\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} 
 +\frac{E_{c,\phi} \, A_c}{E_{c,\phi} \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} = 
 +- \frac{10.946 \cdot 105.000}{10.946 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,313‰ 
 +$$ 
 + 
 +riducendo il valore ottenuto nel caso precedente. 
 + 
 +Dovendo utilizzare tali valori per la verifica globale di una struttura, abbiamo il problema di tradurre i suddetti valori di deformazione in carichi termici equivalenti. Nel nostro caso avremmo 
 + 
 +$$\Delta T_{eq} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0,366‰}{10^{-5} °C^{-1}} = - 36,6 °C$$ 
 + 
 +nel breve periodo. Nel lungo periodo, tenendo conto dell'effetto del fluage, 
 + 
 +$$\Delta T_{eq,\phi} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0,313‰}{10^{-5} °C^{-1}} = - 31,3 °C$$
  
-$$\mu_{y} =  +Il carico termico equivalente risulta quindi essere tutt'altro che trascurabile.
-\frac{ M_{y} }{\iint \limits_{A}  E \, z^2 \; \mathrm{d}A} +  +
-\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A}  E \, z^2 \; \mathrm{d}A} $$+

scienza_costruzioni/deformazioni_impresse.1356627330.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)

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