scienza_costruzioni:deformazioni_impresse
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== Deformazioni impresse ====== | ====== Deformazioni impresse ====== | ||
- | Le deformazioni | + | L' |
- | * **congruenti**, rispettano | + | |
- | * **non congruenti**, non essendo compatibili, | + | $$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}$$ |
+ | |||
+ | La teoria delle deformazioni impresse modifica la suddetta relazione che diventa | ||
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right)$$ | ||
+ | |||
+ | in cui è stato introdotto il vettore $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}} (x,y,z)$ delle **deformazioni impresse**. | ||
+ | |||
+ | Per comodità di trattazione definiamo: | ||
+ | * **deformazioni totali** $\boldsymbol{\varepsilon}_{tot}$: | ||
+ | * **deformazioni elastiche** $\boldsymbol{\varepsilon}_{el} = \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$: | ||
+ | |||
+ | E' quindi possibile riscrivere il legame costitutivo elastico lineare nella forma | ||
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right) = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_{el}$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Le deformazioni | ||
+ | * //congruenti//, vale a dire che $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$ rispetta | ||
+ | * //non congruenti//, ossia $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$ | ||
Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, | Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, | ||
- | * **compatibili**, rispettano i vincoli esterni; | + | * //compatibili//, rispettano i vincoli esterni; |
- | * **incompatibili**, non li rispettano. | + | * //incompatibili//, non rispettano |
- | ===== Esempi applicativi ===== | + | Nel caso di strutture isostatiche avremo sempre deformazioni impresse compatibili. |
- | Consideriamo una sezione soggetta | + | ===== Deformazioni impresse non congruenti applicate |
- | $$\boldsymbol{\bar{\varepsilon}} | + | ==== Pressoflessione retta ==== |
- | \begin{matrix} | + | |
- | \bar{\varepsilon}_{x} \\ | + | Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa variabile $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$. Supponiamo inoltre che le deformazioni $\bar{\varepsilon}_{x} |
- | 0 \\ | + | |
- | 0 \\ | + | |
- | 0 \\ | + | |
- | 0 \\ | + | |
- | 0 \\ | + | |
- | \end{matrix} \right)$$ | + | |
Le deformazioni elastiche sono date da | Le deformazioni elastiche sono date da | ||
- | $$\varepsilon_{tot, | + | $$\varepsilon_{tot, |
\Longrightarrow | \Longrightarrow | ||
- | \varepsilon_{el, | + | \varepsilon_{el, |
Imponiamo l' | Imponiamo l' | ||
- | $$N = \iint \limits_{A} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A = | + | $$N = \iint \limits_{S} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A = |
- | \iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el, | + | \iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el, |
- | \iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}A = \\ | + | \iint \limits_{S} E \left( \lambda |
- | = \lambda \iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A $$ | + | = \lambda \iint \limits_{S} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{z} \iint \limits_{S} |
e a rotazione | e a rotazione | ||
- | $$M_{y} = \iint \limits_{A} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}A = | + | $$M_{y} = \iint \limits_{S} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z |
- | \iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}A = | + | \iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z |
- | \iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}A \\ | + | \iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} |
- | = \lambda \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A} E \, z^2 \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A $$ | + | = \lambda \iint \limits_{S} E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{z} \iint \limits_{S} |
- | Ponendo l' | + | $$M_{z} = - \iint \limits_{S} \sigma_x \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = |
+ | - \iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = | ||
+ | - \iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, y\; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\ | ||
+ | = - \lambda \iint \limits_{S} E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \mu_{z} \iint \limits_{S} | ||
- | $$S_{n,y} = \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A = 0$$ | + | Ruotiamo e trasliamo il sistema di riferimento della sezione di modo che coincida con il sistema centrale di inerzia della stessa omogeneizzata (vedi sezione su [[scienza_costruzioni: |
- | Le relazioni viste sopra ci permettono di scrivere | + | $$ \iint \limits_{S_C} E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S_C} E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S_C} E \, y \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 0$$ |
+ | |||
+ | Le relazioni viste sopra diventano | ||
+ | |||
+ | $$\lambda_C = | ||
+ | \frac{ N}{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + | ||
+ | \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$ | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{C,y} = | ||
+ | \frac{ 1 }{\iint \limits_{S_C} | ||
+ | \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C, | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{C,z} = | ||
+ | - \frac{ 1 }{\iint \limits_{S_C} | ||
+ | \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C, | ||
+ | |||
+ | Con le posizioni | ||
+ | |||
+ | $$\bar{\lambda}_C = \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$ | ||
+ | |||
+ | $$\bar{\mu}_{C, | ||
+ | |||
+ | $$\bar{\mu}_{C, | ||
+ | |||
+ | possiamo | ||
+ | |||
+ | $$\lambda_C = \frac{ N}{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + \bar{\lambda}_C$$ | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{C,y} = | ||
+ | \frac{ M_{C,y} }{\iint \limits_{S_C} | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{C,z} = | ||
+ | - \frac{ | ||
+ | |||
+ | ==== Esempio applicativo ==== | ||
+ | |||
+ | Consideriamo l' | ||
+ | |||
+ | Nell' | ||
$$\lambda = | $$\lambda = | ||
- | \frac{ | + | \frac{ |
- | \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A}$$ | + | \frac{E_c \, A_c}{E_c \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} = |
+ | - \frac{32.837 \cdot 105.000}{32.837 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,366‰ | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{y} = 0 $$ | ||
+ | |||
+ | Considerando invece l' | ||
+ | |||
+ | $$\lambda = | ||
+ | \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} | ||
+ | \frac{E_{c, | ||
+ | - \frac{10.946 \cdot 105.000}{10.946 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,313‰ | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | riducendo il valore ottenuto nel caso precedente. | ||
+ | |||
+ | Dovendo utilizzare tali valori per la verifica globale di una struttura, abbiamo il problema di tradurre i suddetti valori di deformazione in carichi termici equivalenti. Nel nostro caso avremmo | ||
+ | |||
+ | $$\Delta T_{eq} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0, | ||
+ | |||
+ | nel breve periodo. Nel lungo periodo, tenendo conto dell' | ||
+ | |||
+ | $$\Delta T_{eq,\phi} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0, | ||
- | $$\mu_{y} = | + | Il carico termico equivalente risulta quindi essere tutt' |
- | \frac{ M_{y} }{\iint \limits_{A} | + | |
- | \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} | + |
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