====== Deformazioni impresse ======

L'ipotesi elastico lineare introduce un legame tra tensioni e deformazioni che in prima battuta abbiamo supposto essere del tipo

$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}$$

La teoria delle deformazioni impresse modifica la suddetta relazione che diventa

$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right)$$

in cui è stato introdotto il vettore $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}} (x,y,z)$ delle **deformazioni impresse**.

Per comodità di trattazione definiamo:
  * **deformazioni totali** $\boldsymbol{\varepsilon}_{tot}$: le deformazioni $\boldsymbol{\varepsilon}$ tout-court
  * **deformazioni elastiche** $\boldsymbol{\varepsilon}_{el} = \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$: la differenza tra le deformazioni totali e quelle elastiche.

E' quindi possibile riscrivere il legame costitutivo elastico lineare nella forma

$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right) = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_{el}$$


Le deformazioni impresse $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$ applicate ad una struttura possono essere, con riferimento alle equazioni di congruenza di un solido:
  * //congruenti//, vale a dire che $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$ rispetta le equazioni di congruenza; sotto tale ipotesi, se assumiamo $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}} = \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$, anche $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}}$ rispetta le equazioni di congruenza; conseguentemente $\boldsymbol{\varepsilon_{el}} = \boldsymbol{0}$; notiamo che, per il teorema di Kirchhoff, la soluzione indicata è unica;
  * //non congruenti//, ossia $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$ non rispetta le equazioni di congruenza; affinché le $\boldsymbol{\varepsilon_{tot}}$ rispettino le equazioni di congruenza sarà perciò necessario introdurre delle $\boldsymbol{\varepsilon_{el}} \ne \boldsymbol{0}$ cui saranno associate delle $\boldsymbol{\sigma}$.

Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, le deformazioni impresse possono essere:
  * //compatibili//, rispettano i vincoli esterni;
  * //incompatibili//, non rispettano i vincoli esterni.

Nel caso di strutture isostatiche avremo sempre deformazioni impresse compatibili.

===== Deformazioni impresse non congruenti applicate a travi =====

==== Pressoflessione retta ====

Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa variabile $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$. Supponiamo inoltre che le deformazioni $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$ siano non congruenti, ossia che non rispettino le equazioni di congruenza. Di fatto questo equivale a dire che $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$ è una funzione non lineare lineare in $y$ e $z$.

Le deformazioni elastiche sono date da

$$\varepsilon_{tot,x} = \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z = \varepsilon_{el,x} + \bar{\varepsilon}_{x} 
\Longrightarrow
\varepsilon_{el,x} = \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}$$

Imponiamo l'equilibrio a traslazione

$$N = \iint \limits_{S} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A =
\iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el,x} \; \mathrm{d}A =
\iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\
= \lambda \iint \limits_{S} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{z} \iint \limits_{S}  E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{y} \iint \limits_{S}  E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \iint \limits_{S} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z $$

e a rotazione

$$M_{y} = \iint \limits_{S} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
\iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
\iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\
= \lambda \iint \limits_{S} E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{z} \iint \limits_{S}  E \, y \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{y} \iint \limits_{S}  E \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \iint \limits_{S} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z $$

$$M_{z} = - \iint \limits_{S} \sigma_x \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
- \iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z =
- \iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, y\; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\
= - \lambda \iint \limits_{S} E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \mu_{z} \iint \limits_{S}  E \, y^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \mu_{y} \iint \limits_{S}  E \, y \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \iint \limits_{S} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z $$

Ruotiamo e trasliamo il sistema di riferimento della sezione di modo che coincida con il sistema centrale di inerzia della stessa omogeneizzata (vedi sezione su [[scienza_costruzioni:geometria_delle_aree|Geometria delle aree]] di modo da avere

$$ \iint \limits_{S_C} E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S_C} E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S_C} E \, y \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 0$$

Le relazioni viste sopra diventano

$$\lambda_C = 
\frac{ N}{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + 
\frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$

$$\mu_{C,y} = 
\frac{ 1 }{\iint \limits_{S_C}  E \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} \left( M_{C,y} + 
\iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C,x} \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \right) $$

$$\mu_{C,z} = 
- \frac{ 1 }{\iint \limits_{S_C}  E \, y^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} \left( M_{C,z} + 
\iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C,x} \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \right) $$

Con le posizioni

$$\bar{\lambda}_C = \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$

$$\bar{\mu}_{C,y} = \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C,x} \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z } { \iint \limits_{S_C}  E \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z } $$

$$\bar{\mu}_{C,z} = - \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C,x} \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C}  E \, y^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} $$

possiamo scrivere

$$\lambda_C = \frac{ N}{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + \bar{\lambda}_C$$

$$\mu_{C,y} = 
\frac{ M_{C,y} }{\iint \limits_{S_C}  E \, z^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + \bar{\mu}_{C,y} $$

$$\mu_{C,z} = 
- \frac{  M_{C,z} }{\iint \limits_{S_C}  E \, y^2 \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + \bar{\mu}_{C,z} $$

==== Esempio applicativo ====

Consideriamo l'effetto di un ritiro dello 0,4‰ su una sezione in c.a. di dimensioni 300mm x 350mm, con 4 barre ⌀ 16 disposte sia superiormente che inferiormente.

Nell'ipotesi non siano presenti azioni esplicite e adottando le notazioni viste sopra, avremo

$$\lambda = 
\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} =
\frac{E_c \, A_c}{E_c \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} =
- \frac{32.837 \cdot 105.000}{32.837 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,366‰
$$

$$\mu_{y} = 0 $$

Considerando invece l'effetto del fluage, assumendo $\phi(t_0, \infty) = 2$, avremo

$$\lambda = 
\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} =
\frac{E_{c,\phi} \, A_c}{E_{c,\phi} \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} =
- \frac{10.946 \cdot 105.000}{10.946 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,313‰
$$

riducendo il valore ottenuto nel caso precedente.

Dovendo utilizzare tali valori per la verifica globale di una struttura, abbiamo il problema di tradurre i suddetti valori di deformazione in carichi termici equivalenti. Nel nostro caso avremmo

$$\Delta T_{eq} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0,366‰}{10^{-5} °C^{-1}} = - 36,6 °C$$

nel breve periodo. Nel lungo periodo, tenendo conto dell'effetto del fluage,

$$\Delta T_{eq,\phi} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0,313‰}{10^{-5} °C^{-1}} = - 31,3 °C$$

Il carico termico equivalente risulta quindi essere tutt'altro che trascurabile.