scienza_costruzioni:deformazioni_impresse
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scienza_costruzioni:deformazioni_impresse [2014/12/10 13:37] mickele [Pressoflessione retta] |
scienza_costruzioni:deformazioni_impresse [2021/06/13 13:08] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Deformazioni impresse ====== | ||
- | L' | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}$$ | ||
- | |||
- | La teoria delle deformazioni impresse modifica la suddetta relazione che diventa | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right)$$ | ||
- | |||
- | in cui è stato introdotto il vettore $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}} (x,y,z)$ delle **deformazioni impresse**. | ||
- | |||
- | Per comodità di trattazione definiamo: | ||
- | * **deformazioni totali** $\boldsymbol{\varepsilon}_{tot}$: | ||
- | * **deformazioni elastiche** $\boldsymbol{\varepsilon}_{el} = \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$: | ||
- | |||
- | E' quindi possibile riscrivere il legame costitutivo elastico lineare nella forma | ||
- | |||
- | $$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right) = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_{el}$$ | ||
- | |||
- | |||
- | Le deformazioni impresse applicate ad una struttura possono essere, con riferimento alle equazioni di congruenza di un solido: | ||
- | * // | ||
- | * //non congruenti//, | ||
- | |||
- | Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, | ||
- | * // | ||
- | * // | ||
- | |||
- | Nel caso di strutture isostatiche avremo sempre deformazioni impresse compatibili. | ||
- | |||
- | ===== Deformazioni impresse non congruenti applicate a travi ===== | ||
- | |||
- | ==== Pressoflessione retta ==== | ||
- | |||
- | Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa variabile $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$. Supponiamo inoltre che le deformazioni $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$ siano non congruenti, ossia che non rispettino le equazioni di congruenza. Di fatto questo equivale a dire che $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$ è una funzione non lineare lineare in $y$ e $z$. | ||
- | |||
- | Le deformazioni elastiche sono date da | ||
- | |||
- | $$\varepsilon_{tot, | ||
- | \Longrightarrow | ||
- | \varepsilon_{el, | ||
- | |||
- | Imponiamo l' | ||
- | |||
- | $$N = \iint \limits_{S} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A = | ||
- | \iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el, | ||
- | \iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \\ | ||
- | = \lambda \iint \limits_{S} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{z} \iint \limits_{S} | ||
- | |||
- | e a rotazione | ||
- | |||
- | $$M_{y} = \iint \limits_{S} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = | ||
- | \iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = | ||
- | \iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\ | ||
- | = \lambda \iint \limits_{S} E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{z} \iint \limits_{S} | ||
- | |||
- | $$M_{z} = - \iint \limits_{S} \sigma_x \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = | ||
- | - \iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = | ||
- | - \iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, y\; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\ | ||
- | = - \lambda \iint \limits_{S} E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \mu_{z} \iint \limits_{S} | ||
- | |||
- | Ruotiamo e trasliamo il sistema di riferimento della sezione di modo che coincida con il sistema centrale di inerzia della stessa omogeneizzata (vedi sezione su [[scienza_costruzioni: | ||
- | |||
- | $$ \iint \limits_{S_C} E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S_C} E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S_C} E \, y \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 0$$ | ||
- | |||
- | Le relazioni viste sopra diventano | ||
- | |||
- | $$\lambda_C = | ||
- | \frac{ N}{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + | ||
- | \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$ | ||
- | |||
- | $$\mu_{C,y} = | ||
- | \frac{ 1 }{\iint \limits_{S_C} | ||
- | \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C, | ||
- | |||
- | $$\mu_{C,z} = | ||
- | - \frac{ 1 }{\iint \limits_{S_C} | ||
- | \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C, | ||
- | |||
- | Con le posizioni | ||
- | |||
- | $$\bar{\lambda}_C = \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$ | ||
- | |||
- | $$\bar{\mu}_{C, | ||
- | |||
- | $$\bar{\mu}_{C, | ||
- | |||
- | possiamo scrivere | ||
- | |||
- | $$\lambda_C = \frac{ N}{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + \bar{\lambda}_C$$ | ||
- | |||
- | $$\mu_{C,y} = | ||
- | \frac{ M_{C,y} }{\iint \limits_{S_C} | ||
- | |||
- | $$\mu_{C,z} = | ||
- | - \frac{ | ||
- | |||
- | ==== Esempio applicativo ==== | ||
- | |||
- | Consideriamo l' | ||
- | |||
- | Nell' | ||
- | |||
- | $$\lambda = | ||
- | \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} = | ||
- | \frac{E_c \, A_c}{E_c \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} = | ||
- | - \frac{32.837 \cdot 105.000}{32.837 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,366‰ | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | $$\mu_{y} = 0 $$ | ||
- | |||
- | Considerando invece l' | ||
- | |||
- | $$\lambda = | ||
- | \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} = | ||
- | \frac{E_{c, | ||
- | - \frac{10.946 \cdot 105.000}{10.946 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,313‰ | ||
- | $$ | ||
- | |||
- | riducendo il valore ottenuto nel caso precedente. | ||
- | |||
- | Dovendo utilizzare tali valori per la verifica globale di una struttura, abbiamo il problema di tradurre i suddetti valori di deformazione in carichi termici equivalenti. Nel nostro caso avremmo | ||
- | |||
- | $$\Delta T_{eq} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0, | ||
- | |||
- | nel breve periodo. Nel lungo periodo, tenendo conto dell' | ||
- | |||
- | $$\Delta T_{eq,\phi} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0, | ||
- | |||
- | Il carico termico equivalente risulta quindi essere tutt' |
scienza_costruzioni/deformazioni_impresse.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)