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mickele [Pressofelssione retta]
+++ scienza_costruzioni:deformazioni_impresse [2021/06/13 13:08]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Deformazioni impresse ======
-Le deformazioni impressa applicate ad una struttura possono essere, con riferimento alle equazioni di compatibilità di un solido:
-  * **congruenti**, rispettano le equazioni di congruenza; se applicate a struttura isostatiche non determinano l'insorgere di uno stato tensionale;
-  * **non congruenti**, non essendo compatibili, anche se applicate a strutture isostatiche determinano l'insorgere di deformazioni elastiche e tensioni; siccome tali tensioni non sono determinate da forze esterne, sono dette autotensioni.
-Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, le deformazioni impresse possono essere:
-  * **compatibili**, rispettano i vincoli esterni;
-  * **incompatibili**, non li rispettano.
-===== Deformazioni impresse non congruenti applicate a travi =====
-==== Pressoflessione retta ====
-Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa non congruente applicata lungo l'asse della trave
-$$\boldsymbol{\bar{\varepsilon}} (y,z) = \left(
-\begin{matrix}
-\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)\\
-\\
-\\
-\\
-\\
-\\
-\end{matrix} \right)$$
-applicata in maniera non uniforme
-Le deformazioni elastiche sono date da
-$$\varepsilon_{tot,x} = \lambda + \mu_{y} \, z = \varepsilon_{el,x} + \bar{\varepsilon}_{x}
-\Longrightarrow
-\varepsilon_{el,x} = \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}$$
-Imponiamo l'equilibrio a traslazione
-$$N = \iint \limits_{A} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A =
-\iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el,x} \; \mathrm{d}A =
-\iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}A = \\
-= \lambda \iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A}  E \, z \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A $$
-e a rotazione
-$$M_{y} = \iint \limits_{A} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}A =
-\iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}A =
-\iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}A \\
-= \lambda \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A}  E \, z^2 \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A $$
-Ponendo l'origine del sistema di riferimento $yOz$ nel baricentro della sezione omogeneizzata, annulliamo i momenti statici
-$$S_{n,y} = \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A = 0$$
-Le relazioni viste sopra ci permettono di scrivere
-$$\lambda =
-\frac{ N}{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} +
-\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A}$$
-$$\mu_{y} =
-\frac{ M_{y} }{\iint \limits_{A}  E \, z^2 \; \mathrm{d}A} +
-\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A}  E \, z^2 \; \mathrm{d}A} $$
-==== Esempio applicativo ====
-Consideriamo l'effetto di un ritiro dello 0,4‰ su una sezione in c.a. di dimensioni 300mm x 350mm, con 4 barre ⌀ 16 disposte sia superiormente che inferiormente.
-Nell'ipotesi non siano presenti azioni esplicite e adottando le notazioni viste sopra, avremo
-$$\lambda =
-\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} =
-\frac{E_c \, A_c}{E_c \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} =
-- \frac{32.837 \cdot 105.000}{32.837 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,366‰
-$$
-$$\mu_{y} = 0 $$
-Considerando invece l'effetto del fluage, assumendo $\phi(t_0, \infty) = 2$, avremo
-$$\lambda =
-\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} =
-\frac{E_{c,\phi} \, A_c}{E_{c,\phi} \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} =
-- \frac{10.946 \cdot 105.000}{10.946 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,313‰
-$$
-riducendo il valore ottenuto nel caso precedente.
-Dovendo utilizzare tali valori per la verifica globale di una struttura, abbiamo il problema di tradurre i suddetti valori di deformazione in carichi termici equivalenti. Nel nostro caso avremmo
-$$\Delta T_{eq} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0,366‰}{10^{-5} °C^{-1}} = - 36,6 °C$$
-nel breve periodo. Nel lungo periodo, tenendo conto dell'effetto del fluage,
-$$\Delta T_{eq,\phi} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0,313‰}{10^{-5} °C^{-1}} = - 31,3 °C$$
-Il carico termico equivalente risulta quindi essere tutt'altro che trascurabile.

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