scienza_costruzioni:deformazioni_impresse
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scienza_costruzioni:deformazioni_impresse [2012/12/28 17:07] mickele [Pressofelssione retta] |
scienza_costruzioni:deformazioni_impresse [2016/01/11 23:22] mickele [Deformazioni impresse] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
====== Deformazioni impresse ====== | ====== Deformazioni impresse ====== | ||
- | Le deformazioni | + | L' |
- | * **congruenti**, | + | |
- | * **non congruenti**, | + | |
- | Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, | + | $$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}$$ |
- | * **compatibili**, | + | |
- | * **incompatibili**, | + | |
- | ===== Deformazioni | + | La teoria delle deformazioni |
- | ==== Pressofelssione retta ==== | + | $$\boldsymbol{\sigma} |
- | Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa non congruente applicata lungo l'asse della trave | + | in cui è stato introdotto il vettore |
- | $$\boldsymbol{\bar{\varepsilon}} | + | Per comodità di trattazione definiamo: |
- | \begin{matrix} | + | * **deformazioni totali** |
- | \bar{\varepsilon}_{x} (y,z)\\ | + | * **deformazioni elastiche** $\boldsymbol{\varepsilon}_{el} = \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$: la differenza tra le deformazioni totali e quelle elastiche. |
- | 0 \\ | + | |
- | 0 \\ | + | |
- | 0 \\ | + | |
- | 0 \\ | + | |
- | 0 \\ | + | |
- | \end{matrix} | + | |
- | applicata in maniera | + | E' quindi possibile riscrivere il legame costitutivo elastico lineare nella forma |
+ | |||
+ | $$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \left( \boldsymbol{\varepsilon}_{tot} - \bar{\boldsymbol{\varepsilon}}\right) = \boldsymbol{H}_{\Phi} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_{el}$$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Le deformazioni impresse $\bar{\boldsymbol{\varepsilon}}$ applicate ad una struttura possono essere, con riferimento alle equazioni di congruenza di un solido: | ||
+ | * // | ||
+ | * //non congruenti//, | ||
+ | |||
+ | Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, | ||
+ | * // | ||
+ | * // | ||
+ | |||
+ | Nel caso di strutture isostatiche avremo sempre deformazioni impresse compatibili. | ||
+ | |||
+ | ===== Deformazioni impresse non congruenti applicate a travi ===== | ||
+ | |||
+ | ==== Pressoflessione retta ==== | ||
+ | |||
+ | Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa variabile $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$. Supponiamo inoltre che le deformazioni $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$ siano non congruenti, ossia che non rispettino le equazioni di congruenza. Di fatto questo equivale a dire che $\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)$ è una funzione non lineare lineare in $y$ e $z$. | ||
Le deformazioni elastiche sono date da | Le deformazioni elastiche sono date da | ||
- | $$\varepsilon_{tot, | + | $$\varepsilon_{tot, |
\Longrightarrow | \Longrightarrow | ||
- | \varepsilon_{el, | + | \varepsilon_{el, |
Imponiamo l' | Imponiamo l' | ||
- | $$N = \iint \limits_{A} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A = | + | $$N = \iint \limits_{S} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A = |
- | \iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el, | + | \iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el, |
- | \iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}A = \\ | + | \iint \limits_{S} E \left( \lambda |
- | = \lambda \iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A $$ | + | = \lambda \iint \limits_{S} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{z} \iint \limits_{S} |
e a rotazione | e a rotazione | ||
- | $$M_{y} = \iint \limits_{A} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}A = | + | $$M_{y} = \iint \limits_{S} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z |
- | \iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}A = | + | \iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z |
- | \iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}A \\ | + | \iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} |
- | = \lambda \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A} E \, z^2 \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A $$ | + | = \lambda \iint \limits_{S} E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z + \mu_{z} \iint \limits_{S} |
- | Ponendo l' | + | $$M_{z} = - \iint \limits_{S} \sigma_x \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = |
+ | - \iint \limits_{S} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = | ||
+ | - \iint \limits_{S} E \left( \lambda + \mu_{z} \, y + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, y\; \mathrm{d}y \mathrm{d}z \\ | ||
+ | = - \lambda \iint \limits_{S} E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z - \mu_{z} \iint \limits_{S} | ||
- | $$S_{n,y} = \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A = 0$$ | + | Ruotiamo e trasliamo il sistema di riferimento della sezione di modo che coincida con il sistema centrale di inerzia della stessa omogeneizzata (vedi sezione su [[scienza_costruzioni: |
- | Le relazioni viste sopra ci permettono di scrivere | + | $$ \iint \limits_{S_C} E \, y \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S_C} E \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint \limits_{S_C} E \, y \, z \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z = 0$$ |
- | $$\lambda | + | Le relazioni viste sopra diventano |
- | \frac{ N}{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} + | + | |
- | \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A}$$ | + | $$\lambda_C |
+ | \frac{ N}{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + | ||
+ | \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{C,y} = | ||
+ | \frac{ 1 }{\iint \limits_{S_C} | ||
+ | \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C, | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{C,z} = | ||
+ | - \frac{ 1 }{\iint \limits_{S_C} | ||
+ | \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{C, | ||
+ | |||
+ | Con le posizioni | ||
+ | |||
+ | $$\bar{\lambda}_C = \frac{ \iint \limits_{S_C} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z }{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z}$$ | ||
+ | |||
+ | $$\bar{\mu}_{C, | ||
+ | |||
+ | $$\bar{\mu}_{C, | ||
+ | |||
+ | possiamo scrivere | ||
+ | |||
+ | $$\lambda_C = \frac{ N}{\iint \limits_{S_C} E \; \mathrm{d}y \mathrm{d}z} + \bar{\lambda}_C$$ | ||
+ | |||
+ | $$\mu_{C,y} = | ||
+ | \frac{ M_{C,y} }{\iint \limits_{S_C} | ||
- | $$\mu_{y} = | + | $$\mu_{C,z} = |
- | \frac{ M_{y} }{\iint \limits_{A} E \, z^2 \; \mathrm{d}A} + | + | - \frac{ |
- | \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} | + | |
==== Esempio applicativo ==== | ==== Esempio applicativo ==== | ||
- | Consideriamo l' | + | Consideriamo l' |
- | Nell' | + | Nell' |
$$\lambda = | $$\lambda = | ||
\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} = | \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} = | ||
\frac{E_c \, A_c}{E_c \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} = | \frac{E_c \, A_c}{E_c \, A_c + E_s \, A_s} \bar{\varepsilon} = | ||
- | \frac{32.837 \cdot 105.000}{32.837 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = 0,366‰ | + | - \frac{32.837 \cdot 105.000}{32.837 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,366‰ |
$$ | $$ | ||
Linea 80: | Linea 116: | ||
\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} = | \frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} = | ||
\frac{E_{c, | \frac{E_{c, | ||
- | \frac{10.946 \cdot 105.000}{10.946 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = 0,313‰ | + | - \frac{10.946 \cdot 105.000}{10.946 \cdot 105.000 + 200.000 \cdot 1608} 0,4‰ = - 0,313‰ |
$$ | $$ | ||
+ | riducendo il valore ottenuto nel caso precedente. | ||
+ | |||
+ | Dovendo utilizzare tali valori per la verifica globale di una struttura, abbiamo il problema di tradurre i suddetti valori di deformazione in carichi termici equivalenti. Nel nostro caso avremmo | ||
+ | |||
+ | $$\Delta T_{eq} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0, | ||
+ | |||
+ | nel breve periodo. Nel lungo periodo, tenendo conto dell' | ||
+ | |||
+ | $$\Delta T_{eq,\phi} = \frac{\lambda}{\alpha} = \frac{-0, | ||
+ | |||
+ | Il carico termico equivalente risulta quindi essere tutt' |
scienza_costruzioni/deformazioni_impresse.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)