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--- scienza_costruzioni:deformazioni_impresse [2012/12/27 17:55]
mickele [Esempi applicativi]
+++ scienza_costruzioni:deformazioni_impresse [2021/06/13 13:08]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Deformazioni impresse ======
-Le deformazioni impressa applicate ad una struttura possono essere, con riferimento alle equazioni di compatibilità di un solido:
-  * **congruenti**, rispettano le equazioni di congruenza; se applicate a struttura isostatiche non determinano l'insorgere di uno stato tensionale;
-  * **non congruenti**, non essendo compatibili, anche se applicate a strutture isostatiche determinano l'insorgere di deformazioni elastiche e tensioni; siccome tali tensioni non sono determinate da forze esterne, sono dette autotensioni.
-Con riferimento ai vincoli esterni e riferendoci alle sole strutture iperstatiche, le deformazioni impresse possono essere:
-  * **compatibili**, rispettano i vincoli esterni;
-  * **incompatibili**, non li rispettano.
-===== Esempi applicativi =====
-Consideriamo una sezione soggetta a pressoflessione retta ($N \ne 0$, $M_y \ne 0$, $M_z = 0$) e ad una deformazione impressa incongruente
-$$\boldsymbol{\bar{\varepsilon}} (y,z) = \left(
-\begin{matrix}
-\bar{\varepsilon}_{x} (y,z)\\
-\\
-\\
-\\
-\\
-\\
-\end{matrix} \right)$$
-applicata in maniera non uniforme
-Le deformazioni elastiche sono date da
-$$\varepsilon_{tot,x} = \lambda + \mu_{y} \, z = \varepsilon_{el,x} + \bar{\varepsilon}_{x}
-\Longrightarrow
-\varepsilon_{el,x} = \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}$$
-Imponiamo l'equilibrio a traslazione
-$$N = \iint \limits_{A} \sigma_{x} \; \mathrm{d}A =
-\iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el,x} \; \mathrm{d}A =
-\iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu_{y} \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \; \mathrm{d}A = \\
-= \lambda \iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A}  E \, z \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A $$
-e a rotazione
-$$M_{y} = \iint \limits_{A} \sigma_x \, z \; \mathrm{d}A =
-\iint \limits_{A} E \, \varepsilon_{el} \; \mathrm{d}A =
-\iint \limits_{A} E \left( \lambda + \mu \, z - \bar{\varepsilon}_{x} \right) \, z\; \mathrm{d}A \\
-= \lambda \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A + \mu_{y} \iint \limits_{A}  E \, z^2 \; \mathrm{d}A - \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A $$
-Ponendo l'origine del sistema di riferimento $yOz$ nel baricentro della sezione omogeneizzata, annulliamo i momenti statici
-$$S_{n,y} = \iint \limits_{A} E \, z \; \mathrm{d}A = 0$$
-Le relazioni viste sopra ci permettono di scrivere
-$$\lambda =
-\frac{ N}{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A} +
-\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A} E \; \mathrm{d}A}$$
-$$\mu_{y} =
-\frac{ M_{y} }{\iint \limits_{A}  E \, z^2 \; \mathrm{d}A} +
-\frac{ \iint \limits_{A} E \, \bar{\varepsilon}_{x} \, z \; \mathrm{d}A }{\iint \limits_{A}  E \, z^2 \; \mathrm{d}A} $$

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