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--- scienza_costruzioni:analisi_limite_travi [2013/05/13 09:09]
mickele [Schema per il calcolo del carico a rottura con il metodo cinematico]
+++ scienza_costruzioni:analisi_limite_travi [2021/06/13 13:08] (versione attuale)
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Analisi limite di un sistema di travi ======
+Pagina spostata all'indirizzo [[Scienza Costruzioni:Sistemi travi analisi limite|Analisi limite di un sistema di travi]]
-Per il calcolo semplificato del carico di rottura di un sistema di travi si assumono le seguenti ipotesi semplificative:
-  -   in ogni sezione è possibile raggiungere il momento plastico $M_p= f_d \, Z$;
-  -   le cerniere plastiche sono concentrate in un punto anche se, in realtà, sono distribuite su un tratto finito di trave;
-  -   le connessioni strutturali sono in grado di trasmettere completamente il momento plastico.
-  -   le deformazioni “a collasso” sono ininfluenti sulla geometria delle azioni;
-  -   il momento plastico non è influenzato dalla presenza di sforzo normale e taglio, né dalla presenza di forze concentrate;
-  -   il collasso non avviene per fenomeni di instabilità, né locale né di di insieme;
-La penultima ipotesi non è in genere soddisfatta. Nella tecnica delle costruzioni sarà perciò necessario disporre rinforzi locali nei profilati. Lo stesso accade per l'ultima ipotesi cui bisogna prestare particolare attenzione soprattutto nel caso di strutture metalliche.
-===== Moltiplicatore staticamente ammissibile =====
-Supponiamo di avere determinato una distribuzione delle caratteritische di sollecitazione nel nostro sistemi di travi che rispetti le due condizioni:
-  * i diagrammi $M^{(\psi)}$, $N^{(\psi)}$ e $T^{(\psi)}$ sono in equilibrio con i carichi esterni incrementati del fattore $\psi$; per $M^{(\psi)}$ in particolare dovrà essere rispettata la condizione
-$$ \frac{\mathrm{d}^2 M^{(\psi)}}{\mathrm{d}x^2} = - \psi \, q$$
-  * $M^(\psi)$ è compreso nel dominio plastico della sezione
-$$M^{(\psi)} \le |M_{p}|$$
-il corrispondente moltiplicatore dei carichi $\psi$ è detto //staticamente ammissibile//.
-===== Teorema statico dell'analisi limite =====
-Si consideri un sistema di travi soggetto ad $n$ forze generiche $P_i$. Indichiamo con $\lambda$ il moltiplicatore di collasso della struttura e con $\psi$ un moltiplicatore staticamente ammissibile.
-Il teorema statico dell'analisi limite afferma che
-$$\psi \le \lambda$$
-Per dimostrare tale asserto ricorriamo al principio dei lavori virtuali, che più propriamente in questo caso dovrebbe chiamarsi principio delle potenze virtuali.
-Applichiamo una prima volta il PLV assumendo il sistema $(\psi)$ come staticamente ammissibile ed il sistema $(\lambda)$ come cinematicamente ammissibile. Supponendo di conoscere dove sono localizzate le $m$ cerniere plastiche che si formano nel sistema $(\lambda)$, otteniamo
-$$\sum \limits_{i=1}^{n} \left( \psi \, P_i \right) \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\psi)} \, \dot{\theta}_i^{(\lambda)}$$
-che mettendo in evidenza $\psi$ diventa
-$$\psi \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\psi)} \, \dot{\theta}_i^{(\lambda)}$$
-Applichiamo nuovamente il PLV scegliendo il sistema $(\lambda)$ sia come staticamente ammissibile che come cinematicamente ammissibile. Otteniamo
-$$\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_{p,i}^{(\lambda)} \, \dot{\theta}_i^{(\lambda)}$$
-Poiché per definizione di moltiplicatore staticamente ammissibile
-$$| M_i^{(\psi)} | \le | M_{p,i}^{(\lambda)} |$$
-e poiché $M_{p,i}^{\lambda}$ è concorde con $\dot{\theta}_i^{(\lambda)}$, possiamo scrivere
-$$\sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\psi)} \, \dot{\theta}_i^{(\lambda)} \le \sum \limits_{i=1}^{m} M_{p,i}^{(\lambda)} \, \dot{\theta}_i^{(\lambda)}$$
-Applicando le due equazioni viste sopra derivanti dall'allicazione del PLV abbiamo che
-$$\psi \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)} \le \lambda \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)}$$
-da cui quindi
-$$\psi \le \lambda$$
-come da asserto iniziale.
-===== Moltiplicatore cinematicamente ammissibile =====
-Introduciamo nella struttura un numero di cerniere interne $j$ sufficiente a consentire un atto di moto rigido di verso tale da fornire una potenza virtuale dei carichi esterni positiva
-$$\sum H_i \, u_i^\prime + \sum V_i \, v_i^\prime + \sum M_i \, \varphi_i^\prime + \int q \, v^\prime \mathrm{d}x > 0$$
-Associando a ciascuna cerniera il momento plastico della corrispndente sezione, applicando il principio dei lavori virtuali (più precisamente in questo caso dovremmo parlare di princpio delle potenze virtuali) determiniamo un moltiplicatore $\beta$ dei carichi che chiameremo //cinematicamente ammissibile//
-$$\beta \left( \sum H_i \, u_i^\prime + \sum V_i \, v_i^\prime + \sum M_i \, \varphi_i^\prime + \int q \, v^\prime \mathrm{d}x \right) = \sum \limits_i M_{p,i} \, \varphi_{p,i}^\prime$$
-Il valore di $\beta$ potrà quindi essere ottenuto dall'espressione
-$$\beta = \frac{ \sum \limits_i M_{p,i} \, \varphi_{p,i}^\prime} { \sum H_i \, u_i^\prime + \sum V_i \, v_i^\prime +  + \sum M_i \, \varphi_i^\prime + \int q \, v^\prime \mathrm{d}x }$$
-===== Teorema cinematico dell'analisi limite =====
-Indichiamo con $\lambda$ il moltiplicatore di collasso di un sistema di travi e con $\beta$ un moltiplicatore cinematicamente ammissibile. Il teorema cinematico dell'analisi limite afferma che
-$$\lambda \le \beta$$
-Per dimostrare tale asserto ricorriamo al principio dei lavori virtuali.
-Applichiamo una prima volta il PLV assumendo il sistema associato a $\beta$ come cinematicamente ammissibile, ed il sistema al collasso come staticamente ammissibile. Note le $m$ cerniere plastiche introdotte nel sistema $(\beta)$, otteniamo
-$$\sum \limits_{i=1}^{n} \left( \lambda \, P_i \right) \, \dot{\eta}_i^{(\beta)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\lambda)} \, \dot{\theta}_i^{\beta}$$
-che, mettendo in evidenza $\lambda$, diventa
-$$\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\beta)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\lambda)} \, \dot{\theta}_i^{\beta}$$
-Applichiamo nuovamente il PLV scegliendo il sistema $(\beta)$ sia staticamente che cinematicamente ammissibile. Otteniamo
-$$\beta \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\beta)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_{p,i}^{(\beta)} \, \dot{\theta}_i^{(\beta)}$$
-Poiché
-$$| M_i^{(\lambda)} | \le | M_{p,i}^{(\beta)} | $$
-e poiché $\dot{\theta}_i^{\beta}$ è concorde a $M_{p,i}^{(\beta)}$, possiamo moltiplicare per $\dot{\theta}_i^{\beta}$ e sommare, ottenendo
-$$\sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\lambda)} \, \dot{\theta}_i^{\beta} \le \sum \limits_{i=1}^{m} M_{p,i}^{(\beta)} \, \dot{\theta}_i^{(\beta)}$$
-Applicando le due equazioni viste sopra derivanti dall'applicazione del PLV, arriviamo a scrivere
-$$\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\beta)} \le \beta \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\beta)}$$
-da cui otteniamo l'asserto iniziale
-$$\lambda \le \beta$$

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