scienza_costruzioni:analisi_limite_travi
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- | ====== Analisi limite di un sistema di travi ====== | + | Pagina spostata all'indirizzo [[Scienza Costruzioni:Sistemi |
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- | Per il calcolo semplificato del carico di rottura di un sistema di travi si assumono le seguenti ipotesi semplificative: | + | |
- | - in ogni sezione è possibile raggiungere il momento plastico $M_p= f_d \, Z$; | + | |
- | - le cerniere plastiche sono concentrate in un punto anche se, in realtà, sono distribuite su un tratto finito di trave; | + | |
- | - le connessioni strutturali sono in grado di trasmettere completamente il momento plastico. | + | |
- | - le deformazioni “a collasso” sono ininfluenti sulla geometria delle azioni; | + | |
- | - il momento plastico non è influenzato dalla presenza di sforzo normale e taglio, né dalla presenza di forze concentrate; | + | |
- | - il collasso non avviene per fenomeni di instabilità, | + | |
- | La penultima ipotesi non è in genere soddisfatta. Nella tecnica delle costruzioni sarà perciò necessario disporre rinforzi locali nei profilati. Lo stesso accade per l'ultima ipotesi cui bisogna prestare particolare attenzione soprattutto nel caso di strutture metalliche. | + | |
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- | ===== Moltiplicatore staticamente ammissibile ===== | + | |
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- | Supponiamo di avere determinato una distribuzione delle caratteritische di sollecitazione nel nostro sistemi di travi che rispetti le due condizioni: | + | |
- | * i diagrammi $M^{(\psi)}$, | + | |
- | + | ||
- | $$ \frac{\mathrm{d}^2 M^{(\psi)}}{\mathrm{d}x^2} = - \psi \, q$$ | + | |
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- | * $M^(\psi)$ è compreso nel dominio plastico della sezione | + | |
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- | $$M^{(\psi)} \le |M_{p}|$$ | + | |
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- | il corrispondente moltiplicatore dei carichi $\psi$ è detto // | + | |
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- | ===== Teorema statico dell' | + | |
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- | Si consideri un sistema di travi soggetto ad $n$ forze generiche $P_i$. Indichiamo con $\lambda$ il moltiplicatore di collasso della struttura e con $\psi$ un moltiplicatore staticamente ammissibile. | + | |
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- | Il teorema statico dell'analisi limite | + | |
- | + | ||
- | $$\psi \le \lambda$$ | + | |
- | + | ||
- | Per dimostrare tale asserto ricorriamo al principio dei lavori virtuali, che più propriamente in questo caso dovrebbe chiamarsi principio delle potenze virtuali. | + | |
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- | Applichiamo una prima volta il PLV assumendo il sistema $(\psi)$ come staticamente ammissibile ed il sistema $(\lambda)$ come cinematicamente ammissibile. Supponendo di conoscere dove sono localizzate le $m$ cerniere plastiche che si formano nel sistema $(\lambda)$, | + | |
- | + | ||
- | $$\sum \limits_{i=1}^{n} \left( \psi \, P_i \right) \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\psi)} \, \dot{\theta}_i^{(\lambda)}$$ | + | |
- | + | ||
- | che mettendo in evidenza $\psi$ diventa | + | |
- | + | ||
- | $$\psi \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\psi)} \, \dot{\theta}_i^{(\lambda)}$$ | + | |
- | + | ||
- | Applichiamo nuovamente il PLV scegliendo il sistema $(\lambda)$ sia come staticamente ammissibile che come cinematicamente ammissibile. Otteniamo | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_{p, | + | |
- | + | ||
- | Poiché per definizione di moltiplicatore staticamente ammissibile | + | |
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- | $$| M_i^{(\psi)} | \le | M_{p, | + | |
- | + | ||
- | e poiché $M_{p, | + | |
- | + | ||
- | $$\sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\psi)} \, \dot{\theta}_i^{(\lambda)} \le \sum \limits_{i=1}^{m} M_{p, | + | |
- | + | ||
- | Applicando le due equazioni viste sopra derivanti dall' | + | |
- | + | ||
- | $$\psi \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)} \le \lambda \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)}$$ | + | |
- | + | ||
- | da cui quindi | + | |
- | + | ||
- | $$\psi \le \lambda$$ | + | |
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- | come da asserto iniziale. | + | |
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- | ===== Schema per il calcolo del carico a rottura con il metodo statico ===== | + | |
- | + | ||
- | Ecco i passi da seguire per il calcolo del moltiplicatore staticamente ammissibile di un sistema di travi applicando il teorema statico: | + | |
- | * scegliere le incognite iperstatiche; | + | |
- | * tracciare il diagramma di momento della struttura principale - $M_0$ | + | |
- | * tracciare i diagrammi di momento dovuti alle incognite iperstatiche agenti sulla struttura principale - $M_i$ | + | |
- | * combinare linearmente i diagrammi così ottenuti ($M_0 + \sum \limits_i X_i \, M_i$), scegliendo il valore delle iperstatiche $X_i$ in modo che risulti in ogni punto della struttura $M \le M_p$ | + | |
- | + | ||
- | ===== Moltiplicatore cinematicamente ammissibile ===== | + | |
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- | Introduciamo nella struttura un numero di cerniere interne $j$ sufficiente a consentire un atto di moto rigido di verso tale da fornire una potenza virtuale dei carichi esterni positiva | + | |
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- | $$\sum H_i \, u_i^\prime + \sum V_i \, v_i^\prime + \sum M_i \, \varphi_i^\prime + \int q \, v^\prime \mathrm{d}x > 0$$ | + | |
- | + | ||
- | Associando a ciascuna cerniera il momento plastico della corrispndente sezione, applicando il principio dei lavori virtuali (più precisamente in questo caso dovremmo parlare di princpio delle potenze virtuali) determiniamo un moltiplicatore $\beta$ dei carichi che chiameremo // | + | |
- | + | ||
- | $$\beta \left( \sum H_i \, u_i^\prime + \sum V_i \, v_i^\prime + \sum M_i \, \varphi_i^\prime + \int q \, v^\prime \mathrm{d}x \right) = \sum \limits_i M_{p,i} \, \varphi_{p, | + | |
- | + | ||
- | Il valore di $\beta$ potrà quindi essere ottenuto dall' | + | |
- | + | ||
- | $$\beta = \frac{ \sum \limits_i M_{p,i} \, \varphi_{p, | + | |
- | + | ||
- | ===== Teorema cinematico dell' | + | |
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- | Indichiamo con $\lambda$ il moltiplicatore di collasso | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda \le \beta$$ | + | |
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- | Per dimostrare tale asserto ricorriamo al principio dei lavori virtuali. | + | |
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- | Applichiamo una prima volta il PLV assumendo il sistema associato a $\beta$ come cinematicamente ammissibile, | + | |
- | + | ||
- | $$\sum \limits_{i=1}^{n} \left( \lambda \, P_i \right) \, \dot{\eta}_i^{(\beta)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\lambda)} \, \dot{\theta}_i^{\beta}$$ | + | |
- | + | ||
- | che, mettendo in evidenza $\lambda$, diventa | + | |
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- | $$\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\beta)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\lambda)} \, \dot{\theta}_i^{\beta}$$ | + | |
- | + | ||
- | Applichiamo nuovamente il PLV scegliendo il sistema $(\beta)$ sia staticamente che cinematicamente ammissibile. Otteniamo | + | |
- | + | ||
- | $$\beta \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\beta)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_{p, | + | |
- | + | ||
- | Poiché | + | |
- | + | ||
- | $$| M_i^{(\lambda)} | \le | M_{p, | + | |
- | + | ||
- | e poiché $\dot{\theta}_i^{\beta}$ è concorde a $M_{p, | + | |
- | + | ||
- | $$\sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\lambda)} \, \dot{\theta}_i^{\beta} \le \sum \limits_{i=1}^{m} M_{p, | + | |
- | + | ||
- | Applicando le due equazioni viste sopra derivanti dall' | + | |
- | + | ||
- | $$\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\beta)} \le \beta \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\beta)}$$ | + | |
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- | da cui otteniamo l' | + | |
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- | $$\lambda \le \beta$$ | + | |
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- | ===== Schema per il calcolo del carico a rottura con il metodo cinematico ===== | + | |
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- | Ecco i passi da seguire per il calcolo del moltiplicatore staticamente ammissibile di un sistema di travi applicando il teorema cinematico: | + | |
- | * introdurre nella struttura un numero di cerniere plastiche sufficienti a realizzare un cinematismo (cerniera con due coppie uguali ed opposte ai lati di valore pari ai momenti plastici della sezione nel punto), determinando una labilità anche solo localizzata | + | |
- | * determinare il cinemtismo corrispondente verificando che ciascuna cerniera compi un lavoro interno positivo | + | |
- | * determinare il moltiplicatore $\beta$ imponendo l' | + | |
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- | ===== Teorema misto dell' | + | |
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- | Poiché per il teorema statico | + | |
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- | $$\psi \le \lambda$$ | + | |
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- | e per il teorema cinematico | + | |
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- | $$\lambda \le \beta$$ | + | |
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- | se | + | |
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- | $$\beta = \psi$$ | + | |
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- | allora | + | |
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- | $$\beta = \lambda = \psi$$ | + | |
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- | vale a dire: | + | |
- | se un moltiplicatore staticamente ammissibile è uguale ad un moltiplicatore cinematicamente ammissibile, | + | |
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- | Se quindi dopo aver trovato una distribuzione dei momenti in equilibrio con le forze esterne che rispetta la condizione $|M| \le |M_p|$ (teorema statico), verifichiamo che introducendo nella struttura delle cerniere plastiche nei punti in cui $|M| = |M_p|$ otteniamo un cinematismo ammissibile (rotazioni concordi con i momenti plastici) (teorema cinematico), | + | |
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- | Analogamente, | + |
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