scienza_costruzioni:analisi_limite_travi
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scienza_costruzioni:analisi_limite_travi [2013/05/13 09:09] mickele [Schema per il calcolo del carico a rottura con il metodo cinematico] |
scienza_costruzioni:analisi_limite_travi [2021/06/13 13:08] |
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Linea 1: | Linea 1: | ||
- | ====== Analisi limite di un sistema di travi ====== | ||
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- | Per il calcolo semplificato del carico di rottura di un sistema di travi si assumono le seguenti ipotesi semplificative: | ||
- | - in ogni sezione è possibile raggiungere il momento plastico $M_p= f_d \, Z$; | ||
- | - le cerniere plastiche sono concentrate in un punto anche se, in realtà, sono distribuite su un tratto finito di trave; | ||
- | - le connessioni strutturali sono in grado di trasmettere completamente il momento plastico. | ||
- | - le deformazioni “a collasso” sono ininfluenti sulla geometria delle azioni; | ||
- | - il momento plastico non è influenzato dalla presenza di sforzo normale e taglio, né dalla presenza di forze concentrate; | ||
- | - il collasso non avviene per fenomeni di instabilità, | ||
- | La penultima ipotesi non è in genere soddisfatta. Nella tecnica delle costruzioni sarà perciò necessario disporre rinforzi locali nei profilati. Lo stesso accade per l' | ||
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- | ===== Moltiplicatore staticamente ammissibile ===== | ||
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- | Supponiamo di avere determinato una distribuzione delle caratteritische di sollecitazione nel nostro sistemi di travi che rispetti le due condizioni: | ||
- | * i diagrammi $M^{(\psi)}$, | ||
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- | $$ \frac{\mathrm{d}^2 M^{(\psi)}}{\mathrm{d}x^2} = - \psi \, q$$ | ||
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- | * $M^(\psi)$ è compreso nel dominio plastico della sezione | ||
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- | $$M^{(\psi)} \le |M_{p}|$$ | ||
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- | il corrispondente moltiplicatore dei carichi $\psi$ è detto // | ||
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- | ===== Teorema statico dell' | ||
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- | Si consideri un sistema di travi soggetto ad $n$ forze generiche $P_i$. Indichiamo con $\lambda$ il moltiplicatore di collasso della struttura e con $\psi$ un moltiplicatore staticamente ammissibile. | ||
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- | Il teorema statico dell' | ||
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- | $$\psi \le \lambda$$ | ||
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- | Per dimostrare tale asserto ricorriamo al principio dei lavori virtuali, che più propriamente in questo caso dovrebbe chiamarsi principio delle potenze virtuali. | ||
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- | Applichiamo una prima volta il PLV assumendo il sistema $(\psi)$ come staticamente ammissibile ed il sistema $(\lambda)$ come cinematicamente ammissibile. Supponendo di conoscere dove sono localizzate le $m$ cerniere plastiche che si formano nel sistema $(\lambda)$, | ||
- | |||
- | $$\sum \limits_{i=1}^{n} \left( \psi \, P_i \right) \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\psi)} \, \dot{\theta}_i^{(\lambda)}$$ | ||
- | |||
- | che mettendo in evidenza $\psi$ diventa | ||
- | |||
- | $$\psi \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\psi)} \, \dot{\theta}_i^{(\lambda)}$$ | ||
- | |||
- | Applichiamo nuovamente il PLV scegliendo il sistema $(\lambda)$ sia come staticamente ammissibile che come cinematicamente ammissibile. Otteniamo | ||
- | |||
- | $$\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_{p, | ||
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- | Poiché per definizione di moltiplicatore staticamente ammissibile | ||
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- | $$| M_i^{(\psi)} | \le | M_{p, | ||
- | |||
- | e poiché $M_{p, | ||
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- | $$\sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\psi)} \, \dot{\theta}_i^{(\lambda)} \le \sum \limits_{i=1}^{m} M_{p, | ||
- | |||
- | Applicando le due equazioni viste sopra derivanti dall' | ||
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- | $$\psi \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)} \le \lambda \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\lambda)}$$ | ||
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- | da cui quindi | ||
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- | $$\psi \le \lambda$$ | ||
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- | come da asserto iniziale. | ||
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- | ===== Moltiplicatore cinematicamente ammissibile ===== | ||
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- | Introduciamo nella struttura un numero di cerniere interne $j$ sufficiente a consentire un atto di moto rigido di verso tale da fornire una potenza virtuale dei carichi esterni positiva | ||
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- | $$\sum H_i \, u_i^\prime + \sum V_i \, v_i^\prime + \sum M_i \, \varphi_i^\prime + \int q \, v^\prime \mathrm{d}x > 0$$ | ||
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- | Associando a ciascuna cerniera il momento plastico della corrispndente sezione, applicando il principio dei lavori virtuali (più precisamente in questo caso dovremmo parlare di princpio delle potenze virtuali) determiniamo un moltiplicatore $\beta$ dei carichi che chiameremo // | ||
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- | $$\beta \left( \sum H_i \, u_i^\prime + \sum V_i \, v_i^\prime + \sum M_i \, \varphi_i^\prime + \int q \, v^\prime \mathrm{d}x \right) = \sum \limits_i M_{p,i} \, \varphi_{p, | ||
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- | Il valore di $\beta$ potrà quindi essere ottenuto dall' | ||
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- | $$\beta = \frac{ \sum \limits_i M_{p,i} \, \varphi_{p, | ||
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- | ===== Teorema cinematico dell' | ||
- | |||
- | Indichiamo con $\lambda$ il moltiplicatore di collasso di un sistema di travi e con $\beta$ un moltiplicatore cinematicamente ammissibile. Il teorema cinematico dell' | ||
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- | $$\lambda \le \beta$$ | ||
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- | Per dimostrare tale asserto ricorriamo al principio dei lavori virtuali. | ||
- | |||
- | Applichiamo una prima volta il PLV assumendo il sistema associato a $\beta$ come cinematicamente ammissibile, | ||
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- | $$\sum \limits_{i=1}^{n} \left( \lambda \, P_i \right) \, \dot{\eta}_i^{(\beta)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\lambda)} \, \dot{\theta}_i^{\beta}$$ | ||
- | |||
- | che, mettendo in evidenza $\lambda$, diventa | ||
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- | $$\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\beta)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\lambda)} \, \dot{\theta}_i^{\beta}$$ | ||
- | |||
- | Applichiamo nuovamente il PLV scegliendo il sistema $(\beta)$ sia staticamente che cinematicamente ammissibile. Otteniamo | ||
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- | $$\beta \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\beta)} = \sum \limits_{i=1}^{m} M_{p, | ||
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- | Poiché | ||
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- | $$| M_i^{(\lambda)} | \le | M_{p, | ||
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- | e poiché $\dot{\theta}_i^{\beta}$ è concorde a $M_{p, | ||
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- | $$\sum \limits_{i=1}^{m} M_i^{(\lambda)} \, \dot{\theta}_i^{\beta} \le \sum \limits_{i=1}^{m} M_{p, | ||
- | |||
- | Applicando le due equazioni viste sopra derivanti dall' | ||
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- | $$\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\beta)} \le \beta \sum \limits_{i=1}^{n} P_i \, \dot{\eta}_i^{(\beta)}$$ | ||
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- | da cui otteniamo l' | ||
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- | $$\lambda \le \beta$$ | ||
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