Il wiki di IngegneriaLibera

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====== Analisi dello stato di tensione ======

Nel seguito analizzeremo lo stato di tensione all'interno di un solido tridimensionale generico soggetto a:
  * forze di volume $\mathbf{f}(x,y,z)$
  * forze di superficie $\mathbf{p}(x,y,z)$

I presupposti da cui si parte sono alquanto generali, l'unica limitazione che si introdurrà sarà qualle di analizzare il solido nella sua configurazione indeformata, presupponendo trascurabili gli spostamenti dei punti del solido conseguenti all'applicazione dei carichi.

=====Il tensore degli sforzi=====

Consideriamo un solido deformabile in equilibrio sotto l'azione di forze esterne.

Applicando le equazioni cardinali della statica al nostro solido otteniamo

$$\int\limits_S \mathbf{p}(x,y,z,) \, \mathrm{d}S + \iiint\limits_V \mathbf{f}(x,y,z,) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{0}$$

$$\int\limits_S \mathbf{r} \times \mathbf{p}(x,y,z,) \, \mathrm{d}S + \iiint\limits_V \mathbf{r} \times  \mathbf{f}(x,y,z,) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{0}$$


Tagliamo il nostro solido con un piano A. Ciascuno dei due solidi ottenuti rimane in equilibrio. Dobbiamo pertanto supporre l'esistenza sulla piano di sezione di forze di superficie $\mathbf{t}(x,y,z)$. Indicando con $S_A$ la supercie esterna di uno dei due solidi, con $S^\prime_A$ la superficie della sezione e con $V_A$ il relative volume, abbiamo che 

$$\int\limits_{S_A} \mathbf{p}(x,y,z,) \, \mathrm{d}S + \int\limits_{S^\prime_A} \mathbf{t}(x,y,z,) \, \mathrm{d}S + \iiint\limits_{V_A} \mathbf{f}(x,y,z,) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{0}$$

$$\int\limits_{S_A} \mathbf{r} \times \mathbf{p}(x,y,z,) \, \mathrm{d}S + \int\limits_{S^\prime_A} \mathbf{t}(x,y,z,) \, \mathbf{r} \times \mathrm{d}S + \iiint\limits_{V_A} \, \mathbf{f}(x,y,z,) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \mathbf{0}$$

Concentriamo la nostra attenzione su un punto P della sezione, individuato dal vettore posizione $\mathbf{r = (x,y,z,)}$. Su tale punto agiranno delle forze du superficie $\mathbf{t}$ il cui valore dipenderà anche dalla giacitura del piano di sezione. Indicando con $n$ il vettore normale al piano di sezione nel punto P, scriveremo perciò $\mathbf{t}(\mathbf{r}, \mathbf{n})$. Supponiamo di conscere i valori di $\mathbf{t}$ nel punto P lungo le tre giaciture individuate dalle basi del nostro sistema di riferimento ortonormale. Indicheremo con 

$$\mathbf{t_x} = 
\left( \begin{matrix} 
t_{xx} \\\\
t_{xy} \\\\
t_{xz} 
\end{matrix} \right)$$

$$\mathbf{t_y} = 
\left( \begin{matrix}
t_{yx} \\\\
t_{yy} \\\\
t_{yz} 
\end{matrix} \right) $$

$$\mathbf{t_z} = 
\left( \begin{matrix} 
t_{zx} \\\\
t_{zy} \\\\
t_{zz} 
\end{matrix} \right)$$

i tre valori di $\mathbf{t}$ nel punto P lungo giaciture perpendicolari, rispettivamente, alle basi $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ e $\mathbf{k}$ (leggi assi x,y e z).

Analizziamo l'equilibrio del tetraedro infinitesimo centrato nel punto P individuato dai tre piano ortogonali alle basi e da un quarto piano ortogonale al vesore $\mathbf{n}$ che individua la giacitura su cui stiamo cercando il vettore $\mathbf{t}$.

Scrivendo le equazioni di equilibrio a traslazione otteniamo che

$$\mathbf{t_n} = 
\left( \begin{matrix} 
t_{nx} \\\\
t_{ny} \\\\
t_{nz} 
\end{matrix} \right) =
\begin{bmatrix} t_{xx} & t_{yx} & t_{zx}\\\\
t_{xy} & t_{yy} & t_{zy}\\\\
t_{xz} & t_{yz} & t_{zz} \end{bmatrix}
\left( \begin{matrix} 
n_{x} \\\\
n_{y} \\\\
n_{z} 
\end{matrix} \right) =
\mathbf{ \begin{bmatrix} t \end{bmatrix} } \mathbf{n}$$

in cui abbiamo definitio il tensore degli sforzi

$$\mathbf{ \begin{bmatrix} t \end{bmatrix} } = 
\begin{bmatrix} t_{xx} & t_{yx} & t_{zx}\\\\
t_{xy} & t_{yy} & t_{zy}\\\\
t_{xz} & t_{yz} & t_{zz} \end{bmatrix}$$

Notazione alternativa a quella appena vista è la seguente

$$\mathbf{ \begin{bmatrix} \sigma \end{bmatrix} } =
\begin{bmatrix} \sigma_{x} & \tau_{yx} & \tau_{zx}\\\\
\tau_{xy} & \sigma_{y} & \tau_{zy}\\\\
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{z} \end{bmatrix}$$

=====Simmetria del tensore di tensione=====

Consideriamo un parallelepipedo infinitesimo centrato nel punto P individuato dal vettore posizione $\mathbf{r}$ ed avente spigoli di lunghezza $\mathrm{d}x$, $\mathrm{d}y$, $\mathrm{d}z$.

Imponendo l'equilibrio a rotazione lungo un asse parallelo all'asse x e passante per P, otteniamo che

$$(\tau_{zy} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y) \mathrm{d}z - (\tau_{yz} \, \mathrm{d}x \mathrm{d}z) \mathrm{d}y = 0 \Longrightarrow \tau_{yz} = \tau_{zy}$$

analogamente possiamo trovare che 

$$\tau_{yx} = \tau_{xy}$$

$$\tau_{yz} = \tau_{zy}$$

da cui deriviamo la simmetria della matrice $\begin{bmatrix}\sigma\end{bmatrix}$.

=====Stato tensionale piano e cerchio di Mohr=====

Definiamo piano uno stato tensionale in cui una tensione principale è nulla. Disponendo il sistema di riferimento lungo le tre direzioni principali della tensione, abbiamo una matrice degli sforzi del tipo

$$\begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & 0 \\\\
0 & \sigma_2 &0  \\\\
0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

Facendo ruotare il sistema di riferimento attorno all'asse $\mathbf{k}$, ed applicando la legge di trasformazione del tensore degli sforzi, abbiamo che

$$\begin{bmatrix} l_x & l_y & l_z \\\\
m_x & m_y & m_z  \\\\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & 0 \\\\
0 & \sigma_2 &0  \\\\
0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} l_x & m_x & 0 \\\\
l_y & m_y & 0  \\\\
l_z & m_z & 1 \end{bmatrix} = $$
$$\begin{bmatrix} \sigma_1 l_x^2 + \sigma_2 l_y^2 & \sigma_1 l_x m_x + \sigma_2 l_y m_y & 0 \\\\
\sigma_1 l_x m_x + \sigma_1 l_y m_y & \sigma_1 m_x^2 + \sigma_2 m_y^2 & 0  \\\\
0 & 0 & 0 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & 0 \\\\
\tau_{xy} & \sigma_y & 0  \\\\
0 & 0 & 0 \end{bmatrix} 
$$

Lavoriamo pertano sulla sottomatrice 

$$\begin{bmatrix} \mathbf{\sigma^\star} \end{bmatrix}  =
\begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\\\
\tau_{xy} & \sigma_y \end{bmatrix} $$

ricercando i versori $\mathbf{n} = \begin{Bmatrix} n_x \\\\ n_y \end{Bmatrix}$ in cui il vettore sforzo è parallelo al versore stesso.

Deve perciò verificarsi che

$$ \begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} \\\\
\tau_{xy} & \sigma_y \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} n_x \\\\ n_y \end{Bmatrix} =
\sigma_n \begin{Bmatrix} n_x \\\\ n_y \end{Bmatrix} 
\Longrightarrow 
\begin{bmatrix} \sigma_x - \sigma_n& \tau_{xy} \\\\
\tau_{xy} & \sigma_y - \sigma_n \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} n_x \\\\ n_y \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} 0 \\\\ 0 \end{Bmatrix}$$

in cui $\sigma_n \in \mathbb{R}$.

Imponendo che il determinante dell'ultima matrice si annulli, otteniamo la seguente equazione di secondo grado

$$(\sigma_x - \sigma_n) (\sigma_y - \sigma_n) - \tau_{xy}^2 = 0 \Longrightarrow
\sigma_n^2 - (\sigma_x + \sigma_y) \sigma_n + \sigma_x \sigma_y  - \tau_{xy}^2 = 0 $$

che ammette le due soluzioni

$$ \sigma_{n \,1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \frac{1}{2} \sqrt{(\sigma_x - \sigma_y)^2 - 4 \tau_{xy}^2 }$$

Al variare di $\sigma_x$, $\sigma_y$ e $\tau_{xy}$, $\sigma_{n \,1}$ e $ \sigma_{n \,2}$ rimangono costanti. Nel piano $(\sigma, \tau)$ i punti $(\sigma_x, \tau_{xy})$ e $(\sigma_y, \tau_{xy})$ descrivono una circonferenza, comunemente denominata cerchio di Mohr. 

Altro modo di arrivare alla stessa conclusione è osservare che, nota la matrice $\begin{bmatrix}\sigma_{xy} = \end{bmatrix}$, la matrice $\begin{bmatrix}\sigma_{xy}^{\star} = \end{bmatrix}$ in un sistema ruotato attorno alla base $\mathbf{k}$ è dato da

$$\begin{bmatrix}\sigma_{xy}^{\star}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}N \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sigma_{xy} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}N \end{bmatrix} ^T$$

con 

$$\begin{bmatrix}N\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}l_x & l_y \\\\ m_x & m_y \end{bmatrix}$$

in cui i vettori $\mathbf{l}$ e $\mathbf{m}$ giacciono nel piano $xy$.

Indicando con $\theta$ l'angolo di rotazione di $\mathbf{l}$ rispetto a $\mathbf{i}$, possiamo anche scrivere

$$\begin{bmatrix}N\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$$

Possiamo quindi scrivere

$$
\begin{bmatrix}\sigma_{xy}^{\star}\end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\sigma_x & \tau_{xy} \\\\ \tau_{xy} & \sigma_y \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\\\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} =
$$

$$
\begin{bmatrix}\sigma_x \cos^2 \theta + \sigma_y sin^2 \theta + sin 2 \theta \; \tau_{xy} & \frac{\sigma_y - \sigma_x}{2} \sin 2 \theta + \tau_{xy} \cos 2 \theta \\\\ \frac{\sigma_y - \sigma_x}{2} \sin 2 \theta + \tau_{xy} \cos 2 \theta & \sigma_x \sin^2 \theta + \sigma_y cos^2 \theta - sin 2 \theta \; \tau_{xy} \end{bmatrix}
$$

Imponendo che $\begin{bmatrix}\sigma_{xy}^{\star}\end{bmatrix}$ sia una matrice diagonale, si ottiene

$$ \frac{\sigma_y - \sigma_x}{2} \sin 2 \theta_n + \tau_{xy} \cos 2 \theta_n = 0 \Longrightarrow \theta_n = \frac{1}{2} \arctan \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$$

Gli angoli di rotazione $\theta_n$ e $\theta_n + \frac{\pi}{2}$ che rispettano la suddetta condizione corrispondono ai valori $\sigma_{n \,1,2}$ calcolati precedentemente.

=====Stato tensionale generico e cerchi di Mohr=====

Scegliamo il sistema di riferimento di modo che coincida con le direzioni principali della tensione. La matrice $\begin{bmatrix} \sigma\end{bmatrix}$ può essere espressa nella forma

$$\begin{bmatrix} \sigma\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 & 0 \\\\ 
0 & \sigma_2 & 0 \\\\
0 & 0 & \sigma_3 \end{bmatrix} $$

Supponiamo inoltre di aver scelto il sistema di riferimento di modo che le tensioni principali risultino decrescenti $(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_1)$.

La tensione generica $\begin{Bmatrix} t \end{Bmatrix}$ associata ad una giacitura $\begin{bmatrix} n \end{bmatrix}$ è data da

$$\begin{Bmatrix} t \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \sigma_1 \, n_1 \\\\ \sigma_2 \, n_2 \\\\ \sigma_3 \, n_3 \end{Bmatrix}$$

La componente della tensione $\begin{Bmatrix} t \end{Bmatrix}$ parallela al vettore $\begin{Bmatrix} n \end{Bmatrix}$ è dato da

$$ \sigma_n = \begin{Bmatrix} t \end{Bmatrix}^T  \begin{Bmatrix} n \end{Bmatrix} = \sigma_1 \, n_1^2 + \sigma_2 \, n_2^2 + \sigma_3 \, n_3^2$$

Indicando con $\tau_n$ la componente della tensione perpendiacolare al vettore $\begin{Bmatrix} n \end{Bmatrix}$, possiamo esprimere il modulo di $\begin{Bmatrix} t \end{Bmatrix}$ nella forma

$$ \sigma_n^2 + \tau_n^2 = \sigma_1^2 \, n_1^2 + \sigma_2^2 \, n_2^2 + \sigma_3^2 \, n_3^2$$

Ricordando che $\mathbf{n}$ è un versore,

$$ n_1^2 + n_2^2 + n_3^2 = 1$$

Le ultime tre equazioni possono essere viste come un sistema nelle incognite $n_1^2$, $n_2^2$ e $n_3^2$, la cui soluzione è:

$$n_1^2 = \frac{\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_2) (\sigma_n - \sigma_3)}{(\sigma_1 - \sigma_2) (\sigma_1 - \sigma_3)}$$

$$n_2^2 = \frac{\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_1) (\sigma_n - \sigma_3)}{(\sigma_2 - \sigma_1) (\sigma_2 - \sigma_3)}$$

$$n_3^2 = \frac{\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_1) (\sigma_n - \sigma_2)}{(\sigma_3 - \sigma_1) (\sigma_3 - \sigma_2)}$$

Dovendo i tre termini essere maggiori di 0, e con l'ipotesi fatta in precedenza sulla decrescenza delle tensioni principali $(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_1)$, si dovrà avere che

$$\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_2) (\sigma_n - \sigma_3) \ge 0$$

$$\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_1) (\sigma_n - \sigma_3) \le 0$$

$$\tau_n^2 + (\sigma_n - \sigma_1) (\sigma_n - \sigma_2) \ge 0$$

che può essere scritta anche nella forma

$$\tau_n^2 + \left(\sigma_n - \frac{\sigma_2 + \sigma_3}{2} \right)^2 \ge \left(\frac{\sigma_2 - \sigma_3}{2} \right)^2$$

$$\tau_n^2 + \left(\sigma_n - \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2} \right)^2 \le \left(\frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \right)^2$$

$$\tau_n^2 + \left(\sigma_n - \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} \right)^2 \ge \left(\frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2} \right)^2$$

La prima disequazione rappresente la porzione del piano $(\sigma, \tau)$ **esterna** al cerchio di raggio $R_3 = \frac{\sigma_2 - \sigma_3}{2}$ con centro nel punto $C_3\left( \frac{\sigma_2 + \sigma_3}{2}, 0\right)$.

La seconda rapprenta invece la porzione del piano $(\sigma, \tau)$ **interna** al cerchio di raggio $R_2 = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}$ con centro nel punto $C_2\left( \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}, 0\right)$.

La terza rapprenta invece la porzione del piano $(\sigma, \tau)$ **esterna** al cerchio di raggio $R_1 = \frac{\sigma_2 - \sigma_3}{2}$ con centro nel punto $C_1\left( \frac{\sigma_2 + \sigma_3}{2}, 0\right)$.

Intersecando le tre aree otteniamo che i punati $(\sigma_n, \tau_n)$ che possono rappresentare lo stato tensionale nel nostro punto di analisi, al variare della giacitura $\mathbf{n}$, si trovano in una porzione di piano ben definita delimitata dalle tre circonferenze di raggio $R_1$, $R_2$ e $R_3$, con centro nei punti $C_1$, $C_2$ e $C_3$, tutti appartenenti alla retta $\sigma$.
=====Equazioni indefinite di equilibrio=====

Consideriamo un punto $P$ del nostro solido deformabile individuato dal vettore $\boldsymbol{r}$ di componenti $(x,y,z)$ e costruiamo a partire da esso un parallelepipedo con gli spigoli paralleli agli assi lunghi $\mathrm{d}x, \mathrm{d}y, \mathrm{d}z$. Approssimiamo i valori delle tensioni sulle facce del parallelepipedo mediante il relativo sviluppo in serie di Taylor del primo ordine nel punto $P$.

Imponendo l'equilibrio a traslazione lungo l'asse x troviamo

$$\left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x }{\partial x} \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}y \; \mathrm{d}z - \sigma_x \mathrm{d}y \; \mathrm{d}z + 
\left( \tau_{xy} + \frac{\partial \tau{xy} }{\partial y} \mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x \; \mathrm{d}z - \tau_{xy} \mathrm{d}x \; \mathrm{d}z +
\left( \tau_{xz} + \frac{\partial \tau{xz} }{\partial z} \mathrm{d}z \right) \mathrm{d}x \; \mathrm{d}y - \tau_{xz} \mathrm{d}x \; \mathrm{d}y = 0 \Longrightarrow$$

$$\Longrightarrow \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} + f_x = 0$$
Ripetendo analoghe considerazioni lungo gli altri due assi troviamo altre due equazioni indefinite di equilibrio

$$ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial z} + f_y = 0$$
$$ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_{z}}{\partial z} + f_y = 0$$

Estendendo la definizione di divergenza alle funzioni vettoriali, possiamo riscrivere sinteticamente le equazioni indefinite di equilibrio nella forma

$$\rm div \, \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f} = \mathbf{0}$$
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