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Spazi vettoriali
Definizione
Definiamo spazio vettoriale (o spazio lineare) $V$ nel campo $K$ un insieme di elementi, denominati vettori, su cui sono definite un'operazione di somma tra vettori ed un'operazione di prodotto di un vettore per uno scalare appartenente a $K$.
L'operazione di somma deve godere delle seguenti proprietà:
- commutativa, $\forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$, $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$
- associativa, $\forall \, \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V$, $(\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z} = \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z})$
- esistenza vettore nullo, $\exists \, \mathbf{0} \in V$ tale che $\forall \mathbf{x} \in V$, $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$;
- esistenza ed unicità del vettore opposto, $\forall \, \mathbf{x} \in V, \exists ! \, - \mathbf{x}$ tale che $\mathbf{x} + (- \mathbf{x}) = \mathbf{0}$
L'operazione di prodotto per uno scalare deve godere delle seguenti proprietà:
- associativa, $\forall \mathbf{x} \in V$, $\forall \alpha, \beta \in K$, $\alpha \, (\beta \, \mathbf{x}) = (\alpha \, \beta) \, \mathbf{x}$
- $\exists \, 1 \in K$ tale che $\forall \mathbf{x} \in V$, $1 \; \mathbf{x} = \mathbf{x}$
- $\exists \, 0 \in K$ tale che $\forall \mathbf{x} \in V$, $0 \; \mathbf{x} = \mathbf{0}$, in cui $\mathbf{0}$ è il vettore nullo definito sopra
- distributiva rispetto alla somma in $K$, $\forall \mathbf{x} \in V$, $\forall \alpha, \beta \in K$, $(\alpha + \beta) \, \mathbf{x} = \alpha \, \mathbf{x} + \beta \, \mathbf{x}$,
- distributiva rispetto alla somma in $V$, $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$, $\forall \alpha \in K$, $\alpha \, (\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \, \mathbf{x} + \alpha \, \mathbf{y}$
Norma
Definiamo norma di uno spazio vettoriale un operatore che associa ad ogni elemento dello spazio un numero reale non negativo. Tale operatore deve godere delle seguenti proprietà
- $\lVert \mathbf{x} \rVert \ge 0$
- $\lVert \mathbf{x} \rVert = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0}$
- $\lVert \mathbf{x} + \mathbf{y} \rVert \le \lVert \mathbf{x} \rVert + \lVert \mathbf{y} \rVert$
- $\lVert \alpha \, \mathbf{x} \rVert = \lvert \alpha \rvert \, \lVert \mathbf{x} \rVert$
La coppia (spazio vettoriale, norma) è detto spazio normato.
Nel caso lo spazio vettoriale oggetto del nostro studio sia quello dei segnali complessi, possiamo definire la norma
$\lVert \mathbf{x} \rVert = \sqrt { \int\limits_{T} \lvert x(t) \rvert ^2 \; \mathrm{d} t }$
in cui $\lvert x(t) \rvert$ è il modulo del segnale complesso $x(t)$.
Prodotto scalare
Definiamo prodotto scalare sullo spazio vettoriale $V$, una forma bilineare simmetrica che associa a due vettori $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ uno scalare appartenente al campo associato. Nel seguito lo indicheremo nella forma $\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$
Tale operatore binario deve verificare due proprietà:
- Simmetria, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$
- Linearità rispetto al primo termine, $(\mathbf{u}+\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}$ e $(\lambda \, \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = \lambda (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})$
Nel caso in cui il campo scalare sia l'insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali, il prodotto scalare può essere
- definito positivo se $\forall \, \mathbf{v} \in V, \mathbf{v} \ne \mathbf{0}, \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} > 0$
- definito negativo se $\forall \, \mathbf{v} \in V, \mathbf{v} \ne \mathbf{0}, \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} < 0$
- semidefinito positivo se $\forall \, \mathbf{v} \in V , \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \ge 0$
- semidefinito negativo se $\forall \, \mathbf{v} \in V , \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \le 0$
Nel caso di prodotto scalare semidefinito positivo, possiamo definire la norma
$$\lVert \mathbf{x} \rVert = \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}$$
Nel caso in cui il nostro spazio vettoriale coincida con lo spazio dei segnali, un possibile prodotto scalare è il seguente
$$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \int\limits_{T} x(t) \, \overline{y}(t) \, \mathrm{d} t$$
Si può verificare infatti che verifica i requisiti sopra esposti.