matematica:spazi_vettoriali
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|---|---|---|---|
| Linea 17: | Linea 17: | ||
| * distributiva rispetto alla somma in $K$, $\forall \mathbf{x} \in V$, $\forall \alpha, \beta \in K$, $(\alpha + \beta) \, \mathbf{x} = \alpha \, \mathbf{x} + \beta \, \mathbf{x}$, | * distributiva rispetto alla somma in $K$, $\forall \mathbf{x} \in V$, $\forall \alpha, \beta \in K$, $(\alpha + \beta) \, \mathbf{x} = \alpha \, \mathbf{x} + \beta \, \mathbf{x}$, | ||
| * distributiva rispetto alla somma in $V$, $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$, $\forall \alpha \in K$, $\alpha \, (\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \, \mathbf{x} + \alpha \, \mathbf{y}$ | * distributiva rispetto alla somma in $V$, $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$, $\forall \alpha \in K$, $\alpha \, (\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \, \mathbf{x} + \alpha \, \mathbf{y}$ | ||
| + | |||
| + | ===== Base di uno spazio vettoriale ===== | ||
| + | |||
| + | Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. L' | ||
| + | * i vettori $\mathbf{v}_i$ sono linearmente indipendenti in $K$: $\sum \limits_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} \Leftrightarrow a_i = 0, \, i = 1, 2 \dots n$ | ||
| + | * i vettori $\mathbf{v}_i$ // | ||
| + | |||
| + | Chiameremo i numeri $a_1 , a_2 \dots a_n$ le coordinate di $\mathbf{v}$ rispetto alla base scelta. | ||
| ===== Norma ===== | ===== Norma ===== | ||
| Linea 23: | Linea 31: | ||
| * $\lVert \mathbf{x} \rVert \ge 0$ | * $\lVert \mathbf{x} \rVert \ge 0$ | ||
| - | * $\lVert \mathbf{x} \rVert | + | * $\lVert \mathbf{x} \rVert |
| * $\lVert \mathbf{x} + \mathbf{y} \rVert \le \lVert \mathbf{x} \rVert + \lVert \mathbf{y} \rVert$ | * $\lVert \mathbf{x} + \mathbf{y} \rVert \le \lVert \mathbf{x} \rVert + \lVert \mathbf{y} \rVert$ | ||
| * $\lVert \alpha \, \mathbf{x} \rVert = \lvert \alpha \rvert \, \lVert \mathbf{x} \rVert$ | * $\lVert \alpha \, \mathbf{x} \rVert = \lvert \alpha \rvert \, \lVert \mathbf{x} \rVert$ | ||
| - | La coppia | + | La coppia |
| Nel caso lo spazio vettoriale oggetto del nostro studio sia quello dei segnali complessi, possiamo definire la norma | Nel caso lo spazio vettoriale oggetto del nostro studio sia quello dei segnali complessi, possiamo definire la norma | ||
| Linea 43: | Linea 51: | ||
| Nel caso in cui il campo scalare sia l' | Nel caso in cui il campo scalare sia l' | ||
| - | * definito positivo se $\forall \, \mathbf{v} \ne \mathbf{0}, \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} > 0$ | + | * definito positivo se $\forall \, \mathbf{v} |
| - | * definito negativo se $\forall \, \mathbf{v} \ne \mathbf{0}, \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} < 0$ | + | * definito negativo se $\forall \, \mathbf{v} \in V, \mathbf{v} \ne \mathbf{0}, \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} < 0$ |
| - | * semidefinito positivo se $\forall \, \mathbf{v} \ne \mathbf{0}, \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \ge 0$ | + | * semidefinito positivo se $\forall \, \mathbf{v} \in V , \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \ge 0$ |
| - | * semidefinito negativo se $\forall \, \mathbf{v} \ne \mathbf{0}, \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \le 0$ | + | * semidefinito negativo se $\forall \, \mathbf{v} \in V , \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \le 0$ |
| - | Nel caso di prodotto scalare | + | Nel caso di prodotto scalare |
| $$\lVert \mathbf{x} \rVert = \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}$$ | $$\lVert \mathbf{x} \rVert = \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}$$ | ||
| - | Nel caso in cui il nostro spazio vettoriale coincida con lo spazio dei segnali, | + | Nel caso in cui il nostro spazio vettoriale coincida con lo spazio dei segnali, |
| + | |||
| + | $$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \int\limits_{T} x(t) \, \overline{y}(t) \, \mathrm{d} t$$ | ||
| + | |||
| + | Si può verificare infatti che verifica i requisiti sopra esposti. | ||
| - | $$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \int\limits_{T} x(t) \, \overline{y}(t) \mathrm{d} t$$ | ||
matematica/spazi_vettoriali.1354472161.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:07 (modifica esterna)
