matematica:spazi_vettoriali
Differenze
Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.
|
matematica:spazi_vettoriali [2012/12/02 19:16] 127.0.0.1 modifica esterna |
matematica:spazi_vettoriali [2021/06/13 13:08] |
||
|---|---|---|---|
| Linea 1: | Linea 1: | ||
| - | ====== Spazi vettoriali ====== | ||
| - | ===== Definizione ===== | ||
| - | |||
| - | Definiamo spazio vettoriale (o spazio lineare) $V$ nel campo $K$ un insieme di elementi, denominati vettori, su cui sono definite un' | ||
| - | |||
| - | L' | ||
| - | * commutativa, | ||
| - | * associativa, | ||
| - | * esistenza vettore nullo, $\exists \, \mathbf{0} \in V$ tale che $\forall \mathbf{x} \in V$, $\mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}$; | ||
| - | * esistenza ed unicità del vettore opposto, $\forall \, \mathbf{x} \in V, \exists ! \, - \mathbf{x}$ tale che $\mathbf{x} + (- \mathbf{x}) = \mathbf{0}$ | ||
| - | |||
| - | L' | ||
| - | * associativa, | ||
| - | * $\exists \, 1 \in K$ tale che $\forall \mathbf{x} \in V$, $1 \; \mathbf{x} = \mathbf{x}$ | ||
| - | * $\exists \, 0 \in K$ tale che $\forall \mathbf{x} \in V$, $0 \; \mathbf{x} = \mathbf{0}$, | ||
| - | * distributiva rispetto alla somma in $K$, $\forall \mathbf{x} \in V$, $\forall \alpha, \beta \in K$, $(\alpha + \beta) \, \mathbf{x} = \alpha \, \mathbf{x} + \beta \, \mathbf{x}$, | ||
| - | * distributiva rispetto alla somma in $V$, $\forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$, $\forall \alpha \in K$, $\alpha \, (\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \, \mathbf{x} + \alpha \, \mathbf{y}$ | ||
| - | |||
| - | ===== Norma ===== | ||
| - | |||
| - | Definiamo norma di uno spazio vettoriale un operatore che associa ad ogni elemento dello spazio un numero reale non negativo. Tale operatore deve godere delle seguenti proprietà | ||
| - | |||
| - | * $\lVert \mathbf{x} \rVert \ge 0$ | ||
| - | * $\lVert \mathbf{x} \rVert \ge 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0}$ | ||
| - | * $\lVert \mathbf{x} + \mathbf{y} \rVert \le \lVert \mathbf{x} \rVert + \lVert \mathbf{y} \rVert$ | ||
| - | * $\lVert \alpha \, \mathbf{x} \rVert = \lvert \alpha \rvert \, \lVert \mathbf{x} \rVert$ | ||
| - | |||
| - | La coppia dello spazio vettoriale con la norma è detto spazio normato. | ||
| - | |||
| - | Nel caso lo spazio vettoriale oggetto del nostro studio sia quello dei segnali complessi, possiamo definire la norma | ||
| - | |||
| - | $\lVert \mathbf{x} \rVert = \sqrt { \int\limits_{T} \lvert x(t) \rvert ^2 \; \mathrm{d} t }$ | ||
| - | |||
| - | in cui $\lvert x(t) \rvert$ è il modulo del segnale complesso $x(t)$. | ||
| - | ===== Prodotto scalare ===== | ||
| - | |||
| - | Definiamo prodotto scalare sullo spazio vettoriale $V$, una forma bilineare simmetrica che associa a due vettori $\mathbf{v}, | ||
| - | |||
| - | Tale operatore binario deve verificare due proprietà: | ||
| - | * Simmetria, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$ | ||
| - | * Linearità rispetto al primo termine, $(\mathbf{u}+\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}$ e $(\lambda \, \mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = \lambda (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})$ | ||
| - | |||
| - | Nel caso in cui il campo scalare sia l' | ||
| - | * definito positivo se $\forall \, \mathbf{v} \ne \mathbf{0}, \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} > 0$ | ||
| - | * definito negativo se $\forall \, \mathbf{v} \ne \mathbf{0}, \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} < 0$ | ||
| - | * semidefinito positivo se $\forall \, \mathbf{v} \ne \mathbf{0}, \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \ge 0$ | ||
| - | * semidefinito negativo se $\forall \, \mathbf{v} \ne \mathbf{0}, \; \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \le 0$ | ||
| - | |||
| - | Nel caso di prodotto scalare definito positivo, possiamo definire la norma | ||
| - | |||
| - | $$\lVert \mathbf{x} \rVert = \sqrt{\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}}$$ | ||
| - | |||
| - | Nel caso in cui il nostro spazio vettoriale coincida con lo spazio dei segnali, possiamo definire il prodotto scalare | ||
| - | |||
| - | $$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \int\limits_{T} x(t) \, \overline{y}(t) \mathrm{d} t$$ | ||
matematica/spazi_vettoriali.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)
