Consideriamo il sistema di equazioni lineari

$$ \begin{cases} a_{1,1} x_{1} + a_{1,2} x_{2} + \dots + a_{1,n} x_{n} = b_{1}\\\\ a_{2,1} x_{1} + a_{2,2} x_{2} + \dots + a_{2,n} x_{n} = b_{2}\\\\ \vdots\\\\ a_{m,1} x_{1} + a_{m,2} x_{2} + \dots + a_{m,n} x_{n} = b_{m} \end{cases} $$

chiamiamo matrice dei coefficienti la matrice $\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}$ così definita

$$ \begin{bmatrix}A\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n}\\\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n}\\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \dots & a_{m,n} \end{bmatrix} $$

e matrice dei coefficienti orlata la matrice $\begin{bmatrix}B\end{bmatrix}$

$$ \begin{bmatrix}B\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n} & b_{1}\\\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n} & b_{2}\\\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \dots & a_{m,n} & b_{m} \end{bmatrix} $$

Il sistema dato ammette soluzione se e solo se il rango della matrice dei coefficienti $\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}$ è uguale al rango della matrice dei coefficienti orlata $\begin{bmatrix}B\end{bmatrix}$.

$$\operatorname{rank} (A) = \operatorname{rank} (B) $$