$$ \int \sqrt{ 1 + a \, x^2} \, \mathrm{d} x $$

$$ a > 0 $$

Procediamo per sostituzione

$$ a \, x^2 = tan ^2 u \Longrightarrow x = \frac{\tan u}{\sqrt{a} } \Longrightarrow \mathrm{d} x = \frac{\sec^2 u}{\sqrt{a}} \, \mathrm{d} u$$

Ricaviamo inoltre la seguente relazione tra secante e tangente, che ci serve nel prosieguo,

$$ 1 = cos^2 u + \sin^2 u \Longrightarrow \frac{1}{\cos^2 u} = 1 + \frac{\sin^2 u}{\cos^2 u} \Longrightarrow \sec^2 u = 1 + \tan^2 u $$

Sostituendo nell'integrale

$$ \int \sqrt{ 1 + a \, x^2} \, \mathrm{d} x = \int \sqrt{ 1 + \tan^2 u } \, \frac{\sec^2 u}{\sqrt{a}} \, \mathrm{d} u = \, \\ \, = \frac{1}{\sqrt{a}} \int \sec^3 u \, \mathrm{d} u = \frac{1}{\sqrt{a}} \left( \frac{\sin u \, \sec^2 u}{2} + \int sec^2 u \, \mathrm{d} u \right) = \, \\ \, = \frac{1}{2 \, \sqrt{a}} \left( \tan u \, \sec u + \ln | \tan u + \sec u | \right) = \, \\ \, = \frac{1}{2 \, \sqrt{a}} \left( \tan u \, \sqrt{1 + \tan^2 u } + \ln | \tan u + \sqrt{1 + \tan^2 u } | \right) = \, \\ \, = \frac{1}{2 \, \sqrt{a}} \left( \sqrt{a} \, x \, \sqrt{1 + a \, x^2 } + \ln | \sqrt{a} \, x + \sqrt{1 + a x^2 } | \right) $$