Differenze

Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.

--- matematica:integrali_indefiniti_notevoli [2015/12/23 15:30]
mickele
+++ matematica:integrali_indefiniti_notevoli [2021/06/13 13:08] (versione attuale)
@@ Linea 9: / Linea 9: @@
 ===== Funzioni con radici =====
-$$ \int \sqrt{ 1 + a \, x^2} \, \mathrm{d} x $$
+$$ \int \sqrt{ 1 + a \, x^2} \, \mathrm{d} x = \frac{1}{2 \sqrt{a}} \left( x \sqrt{1+x^2} + \ln | x + \sqrt{1+x^2} |\right) $$
-[[matematica:integrali indefiniti funzioni radici calcolo ]]
+[[matematica:integrali soluzioni:funzioni radici|Passaggi]]
-$$ a > 0 $$
-Procediamo per sostituzione
-$$ x = \frac{\tan u}{\sqrt{a} } \Longrightarrow \mathrm{d} x = \frac{\sec^2 u}{\sqrt{a}} \, \mathrm{d} u$$
-Dalla relazione tra secante e tangente
-$$ \sec^2 u = 1 + \tan^2 u $$
-Sostituendo nell'integrale
-$$ \int \sqrt{ 1 + a \, x^2} \, \mathrm{d} x = \int \sqrt{ 1 + \tan^2 u } \, \frac{\sec^2 u}{\sqrt{a}} \, \mathrm{d} u = \, \\
- \, = \frac{1}{\sqrt{a}} \int \sec^3 u \, \mathrm{d} u = \frac{1}{\sqrt{a}} \left( \frac{\sin u \, \sec^2 u}{2} + \int sec^2 u \mathrm{d} u \right) = \, \\
-\, = \frac{1}{2 \, \sqrt{a}} \left[ \tan u \, \sec u + \log \left( \tan u + \sec u \right) \right] = \, \\
-\, = \frac{1}{2 \, \sqrt{a}} \left[ \tan u \, \sqrt{1 + \tan^2 u }  + \log \left( \tan u + \sqrt{1 + \tan^2 u } \right) \right] $$
 ===== Funzioni trigonometriche =====

Il wiki di IngegneriaLibera