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--- matematica:curvatura [2013/11/07 09:17]
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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
 ====== Curvatura di una curva piana ======
-Sia definita una curva in forma parametrica in un piano. Le coodinate della curva siano $x(t)$ e $y(t)$.
+Si consideri un tratto di curva piana di lunghezza $\Delta s$. Ragionando in termini di ascissa curvilinea possiamo dire di lavorare nel tratto compreso tra $s$ e $s+\Delta s$. Sia $\Delta \theta$ l'angolo compreso tra le due tangenti alla curva in $s + \Delta s$ e $s$.
-La curvatura è data da
+Si definise curvatura di una curva in $s$ il limite
-$$\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} = \frac{1}{\rho} = \frac{x' \, y'' - x'' \, y' }{ \left( {x'}^2 + {y'}^2 \right)^{3/2}}$$
+$$\frac{1}{\rho} = \lim \limits_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta s} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}$$
-Se la curva è definita in forma esplicita ($y = f(x)$) la formula si semplifica
+Dalla definizione appensa esposta ne deriva che la curvatura è una proprietà puntuale della curva (in generale non ha senso parlare della curvatura di una curva).
+Se la nostra curva è definita in forma parametrica $\left( x(t), y(t) \right)$ la curvatura è pari a
+$$\frac{1}{\rho} = \frac{x' \, y'' - x'' \, y' }{ \left( {x'}^2 + {y'}^2 \right)^{3/2}}$$
+Se la curva è definita nella forma esplicita $y = f(x)$ la formula appena riportata si semplifica
 $$\frac{1}{\rho} = \frac{f'' }{ \left( 1 + {f'}^2 \right)^{3/2}}$$
-Un ulteriore semplificazione è possibile se la derivata prima di $f$ è trascurabile rispetto all'unità. In tal caso la curvatura può essere approssimata con la derivata seconda di $f$
+Un ulteriore semplificazione è possibile se la derivata prima di $f$ è trascurabile rispetto all'unità. In tal caso $ 1 + {f'}^2  \approx 1$ e la curvatura può essere approssimata con la derivata seconda di $f$
 $$\frac{1}{\rho} \approx f''$$

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