====== Curvatura di una curva piana ======

Si consideri un tratto di curva piana di lunghezza $\Delta s$. Ragionando in termini di ascissa curvilinea possiamo dire di lavorare nel tratto compreso tra $s$ e $s+\Delta s$. Sia $\Delta \theta$ l'angolo compreso tra le due tangenti alla curva in $s + \Delta s$ e $s$.

Si definise curvatura di una curva in $s$ il limite

$$\frac{1}{\rho} = \lim \limits_{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta s} = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}$$

Dalla definizione appensa esposta ne deriva che la curvatura è una proprietà puntuale della curva (in generale non ha senso parlare della curvatura di una curva).

Se la nostra curva è definita in forma parametrica $\left( x(t), y(t) \right)$ la curvatura è pari a

$$\frac{1}{\rho} = \frac{x' \, y'' - x'' \, y' }{ \left( {x'}^2 + {y'}^2 \right)^{3/2}}$$

Se la curva è definita nella forma esplicita $y = f(x)$ la formula appena riportata si semplifica

$$\frac{1}{\rho} = \frac{f'' }{ \left( 1 + {f'}^2 \right)^{3/2}}$$

Un ulteriore semplificazione è possibile se la derivata prima di $f$ è trascurabile rispetto all'unità. In tal caso $ 1 + {f'}^2  \approx 1$ e la curvatura può essere approssimata con la derivata seconda di $f$

$$\frac{1}{\rho} \approx f''$$