Un campo vettoriale continuo $\mathbf{f}$ definito su un dominio $D$ si dice conservativo se esiste una funzione scalare $\phi$ definita sullo stesso dominio $D$ che verifica l'uguaglianza

$$f = \nabla \phi$$

$g$ è detta funzione potenziale del campo vettoriale $\mathbf{f}$.

Condizioni necessaria e sufficiente affinché si verifichi questa condizione è che l'integrale di circuitazione lungo un qualsiasi percorso interno al dominio sia nullo.

$$ \exists \phi \left( \mathbf{x} \right) | \forall \mathbf{x} \in D, \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) = \nabla \phi \left( \mathbf{x} \right) \; \Longleftrightarrow \; \forall \Lambda, \, \oint \limits_{\Lambda} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} = 0$$

Dimostriamo che la suddetta condizione è necessaria. Infatti se

$$F = \nabla \phi$$

allora

$$\oint \limits_{\Lambda} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} = \int \limits_{A}^{B} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} + \int \limits_{B}^{A} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s}$$

in cui A e B sono due punti qualsiasi della nostra curva $\Lambda$ parametrizzata da $\mathbf{r}(t)$ con $t \in [t_A, t_B]$.

Ma del resto

$$\int \limits_{A}^{B} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} = \int \limits_{A}^{B} \nabla \phi \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} = \int \limits_{t_A}^{t_B} \nabla \phi \left( \mathbf{r}(t) \right) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t) \, \mathrm{d}s = \phi \left( \mathbf{r}(t_B) \right) - \phi \left( \mathbf{r}(t_A) \right)$$

Analogamente si dimostra che

$$\int \limits_{A}^{B} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} = \phi \left( \mathbf{r}(t_A) \right) - \phi \left( \mathbf{r}(t_B) \right)$$

da cui infine otteniamo che

$$\oint \limits_{\Lambda} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} = \int \limits_{A}^{B} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} + \int \limits_{B}^{A} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} = 0$$

Per dimostrare che la condizione di circuitazione nulla è sufficiente per l'esistenza della funzione potenziale, indicheremo come calcolare la funzione potenziale a meno di una costante reale $C$.

Consideriamo due punti $A$ e $B$collegati da due curve qualsiasi $\Lambda_1$ e $\Lambda_2$. Poiché per ipotesi per qualsiasi percorso chiuso $\Lambda$

$$\oint \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} = 0 $$

allora

$$\int \limits_{\Lambda1,A}^{B} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} + \int \limits_{\Lambda2,B}^{A} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} = 0 $$

e quindi

$$\int \limits_{\Lambda1,A}^{B} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s} = \int \limits_{\Lambda2,A}^{B} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s}$$

Perciò il valore dell'integrale $\int \limits_{\Lambda,A}^{B} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s}$ dipende solo dai due punti $A$ e $B$, non dal percorso $\Lambda$ scelto.

Considerato un punto $P_0$ del dominio $D$ in cui assumiamo il potenziale sia pari al valore reale $C$, definiamo la funzione $\phi \left( P \right)$ come

$$\phi \left( P \right) = C + \int \limits_{P_0}^{P} \mathbf{f} \left( \mathbf{x} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{s}$$

Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale otteniamo che in effetti

$$\mathbf{f} = \nabla \phi$$

come da assunto iniziale.

Con questa dimostrazione abbiamo inoltre indicato un metodo per calcolare il potenziale di un campo vettoriale.