====== Calcolo numerico di integrali ======

Data una funzione $f(x)$ definita su un intervallo $[a,b]$, vogliamo calcolare

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \; \mathrm{d}x$$

Consideriamo una suddivisione $\sigma$ dell'intervallo $[a,b]$

$$\sigma : a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b$$

scelta in maniera tale che gli $n$ sottointervalli $[x_0 , x_1 ]$, $[x_1, x_2]$ , $\dots$, $[x_{n-1}, x_n ]$ abbiano la stessa ampiezza

$$x_{i+1} - x_{i} = x_{i} - x_{i-1}$$

===== Metodo dei rettangoli =====

$$h = \frac{b - a}{n} $$

Sull'i-esimo sottointervallo l'integrale definito della funzione $f(x)$ è dato da

$$\int \limits_{x_{i}}^{x_{i}+h} f(x) \; \mathrm{d}x \approx f\left( x_{i} + \frac{h}{2} \right) h$$

Sull'intervallo $[a,b]$ invece abbiamo

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \; \mathrm{d}x \approx h \cdot \sum \limits_{i=0}^{n-1} f\left( x_i + \frac{h}{2} \right)$$

===== Metodo dei trapezi =====

$$h = \frac{b - a}{n} $$

$$\int \limits_{x_{i}}^{x_{i}+h} f(x) \; \mathrm{d}x \approx \frac{h}{2} \left[ f\left(x_i + h \right) + f\left(x_i\right) \right]$$

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \; \mathrm{d}x \approx h \left[ \frac{f(x_0)}{2} + \sum \limits_{i=1}^{n-1} f(x_i)+ \frac{f(x_n)}{2} \right] $$

===== Metodo di Cavalieri-Simpson =====

$$h = \frac{b - a}{2 \, n} $$

$$\int \limits_{x_{i}}^{x_{i}+2 h} f(x_i) \; \mathrm{d}x \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_i) + 4 \, f(x_i+h) + f(x_i+2h) \right] $$

$$\int \limits_{a}^{b} f(x) \; \mathrm{d}x \approx 
\frac{h}{3} \sum \limits_{i=0}^{n} \left[ f(x_i) + 4 \, f(x_i+h) + f(x_i+2h) \right] $$