matematica:calcolo_numerico_di_integrali
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matematica:calcolo_numerico_di_integrali [2012/12/17 23:50] mickele creata |
matematica:calcolo_numerico_di_integrali [2012/12/18 15:13] mickele [Metodo dei trapezi] |
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|---|---|---|---|
| Linea 1: | Linea 1: | ||
| ====== Calcolo numerico di integrali ====== | ====== Calcolo numerico di integrali ====== | ||
| - | Dato un intervallo $[a,b]$, vogliamo calcolare | + | Data una funzione $f(x)$ definita su un intervallo $[a,b]$, vogliamo calcolare |
| - | $$\int \limits_{a}^{b} f(x) \; \mathrm{d}x | + | $$\int \limits_{a}^{b} f(x) \; \mathrm{d}x$$ |
| - | Consideriamo una suddivisione $\sigma$ | + | Consideriamo una suddivisione $\sigma$ |
| $$\sigma : a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b$$ | $$\sigma : a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b$$ | ||
| - | scelta in maniera tale che $n$ sottointervalli $[x_0 , x_1 ]$, $[x_1, x_2]$ , $\dots$, $[x_{n-1}, x_n ]$ abbiano la stessa ampiezza $h = \left( b - a \right) / n$. | + | scelta in maniera tale che gli $n$ sottointervalli $[x_0 , x_1 ]$, $[x_1, x_2]$ , $\dots$, $[x_{n-1}, x_n ]$ abbiano la stessa ampiezza |
| + | |||
| + | $$x_{i+1} - x_{i} = x_{i} - x_{i-1}$$ | ||
| ===== Metodo dei rettangoli ===== | ===== Metodo dei rettangoli ===== | ||
| + | |||
| + | $$h = \frac{b - a}{n} $$ | ||
| Sull' | Sull' | ||
| Linea 22: | Linea 26: | ||
| ===== Metodo dei trapezi ===== | ===== Metodo dei trapezi ===== | ||
| + | |||
| + | $$h = \frac{b - a}{n} $$ | ||
| $$\int \limits_{x_{i}}^{x_{i}+h} f(x) \; \mathrm{d}x \approx \frac{h}{2} \left[ f\left(x_i + h \right) + f\left(x_i\right) \right]$$ | $$\int \limits_{x_{i}}^{x_{i}+h} f(x) \; \mathrm{d}x \approx \frac{h}{2} \left[ f\left(x_i + h \right) + f\left(x_i\right) \right]$$ | ||
| Linea 27: | Linea 33: | ||
| $$\int \limits_{a}^{b} f(x) \; \mathrm{d}x \approx h \left[ \frac{f(x_0)}{2} + \sum \limits_{i=1}^{n-1} f(x_i)+ \frac{f(x_n)}{2} \right] $$ | $$\int \limits_{a}^{b} f(x) \; \mathrm{d}x \approx h \left[ \frac{f(x_0)}{2} + \sum \limits_{i=1}^{n-1} f(x_i)+ \frac{f(x_n)}{2} \right] $$ | ||
| - | ===== Metodo di Simpson ===== | + | ===== Metodo di Cavalieri-Simpson ===== |
| + | |||
| + | $$h = \frac{b - a}{2 \, n} $$ | ||
| - | $$\int \limits_{x_{i}}^{x_{i}+2 h} f(x) \; \mathrm{d}x \approx \frac{h}{3} \left[ f(x) + 4 \, f(x+h) + f(x+2h) \right] $$ | + | $$\int \limits_{x_{i}}^{x_{i}+2 h} f(x_i) \; \mathrm{d}x \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_i) + 4 \, f(x_i+h) + f(x_i+2h) \right] $$ |
| - | $$\int \limits_{a}^{b} f(x) \; \mathrm{d}x \approx $$ | + | $$\int \limits_{a}^{b} f(x) \; \mathrm{d}x \approx |
| + | \frac{h}{3} \sum \limits_{i=0}^{n} \left[ f(x_i) + 4 \, f(x_i+h) + f(x_i+2h) \right] | ||
matematica/calcolo_numerico_di_integrali.txt · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)
