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matematica:calcolo_delle_probabilita

Calcolo delle probabilità

Introduzione del concetto di probabilità

Definizione classica

Secondo la definizione classica, la probabilità P(A) di un evento A è pari al rapporto

$$P(A) = \frac{N_A}{N} $$

il cui $N_A$ è il numero dei risultati che determinano A ed $N$ è il numero dei risultati possibili.

E' una definizione aprioristica, che non necessita dell'esecuzione di prove sperimentali, a differenza della definizione frequentista per la quale invece le prove sperimentale, che devono avvenire sempre nelle medesime condizioni, sono necessarie.

Definizione frequentista

Secondo la definizione frequentista la frequenza assoluta $F_A$ è il numero di volte in cui si è verificato un certo evento. La frequenza relativa $f_A$ è invece il rapporto tra la frequenza assoluta $F_A$ ed il numero complessivo di esperimenti realizzati $N$

$$f_A = \frac{F_A}{N}$$

Definiamo infine probabilità dell'evento A il limite

$$P(A) = \lim \limits_{N \to \infty} f_A = \lim \limits_{N \to \infty} \frac{F_A}{N} $$

Definizione soggettiva

Secondo la definizione soggettiva la probabilità di un evento è il prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l'evento si verifica, 0 se l'evento non si verifica.

E' una definizione che si basa sull'opinione di individui, e quindi difficilmente ripetibile al variare degli individui stessi.

Definizione assiomatica

Arriviamo infine alla definizione assiomatica la cui formulazione è attribuita al matematico russo Andrej Nikolaevič Kolmogorov (Tambov, 25/4/1903 – Mosca, 20/10/1987).

Si definisce fenomeno aleatorio un fenomeno sperimentale caratterizzato dalla proprietà che la sua osservazione, a parità di condizioni esterne, conduce a risultati diversi tra di loro.

L'insieme delle possibili osservazioni costituisce lo spazio campione $\Omega$.

Si definisce evento $A$ un sottoinsieme dello spazio campione $\left( A \subseteq \Omega\right)$

Se $A$ contiene un solo elemento, è detto evento elementare, altrimenti è detto evento composto.

L'insieme degli eventi possibili costituisce lo spazio degli eventi che indicheremo $B$. Se lo spazio campione è costituito da un numero finito di elementi $n$, lo spazio degli eventi è costituito da $2^n$ eventi elementari.

Secondo la definizione assiomatica la probabilità $P(A)$ è una funzione di insieme che ha come dominio lo spazio degli eventi e come codominio l’intervallo reale $[0, 1]$ (primo assioma). Inoltre devono essere rispettati gli altri due assiomi:

  • la probabilità dell'evento certo è $1$, $\left( P(\Omega) = 1 \right) $
  • dati $n$ eventi mutuamente escludentisi $A_i$ $\left( \forall i, j, A_i \cap A_j = \emptyset\right)$, supposto che l'unione degli eventi $A_i$ è compresa nello spazio degli eventi B $\left( \bigcup \limits_{i=1}^{n} A_i \subseteq B \right)$, allora si verifica che la probabilità dell'evento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi $P \left( \bigcup \limits_{i=1}^{n} A_i \right) = \sum \limits_{i=1}^{n} P(A_i)$

Probabilità condizionata

Dato lo spazio di probabilità $\Omega, B, P)$, si definisce probabilità condizionata dell’evento $A_i$ dato l’evento $A_j$, con $A_i$ e $A_j$ eventi qualunque di B, il rapporto:

$$P\left( A_i | A_j \right) = \frac{P\left( A_i \cap A_j \right) }{P\left( A_j \right)} $$

Essa indica la probabilità che si verifichi l’evento $A_i$ sapendo che si è verificato l'evento $A_j$.

Variabili aleatorie

E' definita variabile aleatoria una funzione $X$ avente come dominio lo spazio campione $\Omega$ e come codominio l’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$.

Requisito di una variabile aleatoria è che l’insieme di tutti gli elementi $\omega \in \Omega$, tali che la loro immagine $X(\omega)$ sia minore di un determinato $x \in \mathbb{R}$, deve essere un evento $A(x)$

$$A(x) = \left\{ \omega | X(\omega) \le x \right\} \subseteq B$$

Tale requisito permette di descrivere gli eventi mediante la variabile aleatoria.


matematica/calcolo_delle_probabilita.txt · Ultima modifica: 2013/04/04 13:27 da mickele

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