Le tensioni derivanti dalla spinta attiva sono date da

$$ \sigma^\prime_a = K_a \cdot \sigma^\prime_v - 2 \sqrt{K_a} \cdot c^\prime$$

Le tensioni derivanti dalla spinta passiva sono date da

$$ \sigma^\prime_p = K_p \cdot \sigma^\prime_v + 2 \sqrt{K_p} \cdot c^\prime$$

Nell'ipotesi di piano di campagna orizzontale e trascurando l'attrito tra il muro di contenimento ed il terreno, le spinte esercitate dal terreno si possono esprimere mediante le seguenti espressioni attribuite a Rankine

$$K_a = \frac{1-\sin \phi^\prime}{1+\sin \phi^\prime} = \tan^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\phi^\prime}{2} \right)$$

$$K_p = \frac{1+\sin \phi^\prime}{1-\sin \phi^\prime} = \tan^2 \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\phi^\prime}{2} \right)$$

Tenendo conto dell'inclinazione $\beta$ del paramento rispetto alla verticale, otteniamo

$$K_a = \cos\beta \frac{\cos \beta - \sqrt{ \cos ^2 \beta - \cos ^2 \phi^\prime }}{\cos \beta + \sqrt{ \cos ^2 \beta - \cos ^2 \phi^\prime }}$$

$$K_p = \cos\beta \frac{\cos \beta + \sqrt{ \cos ^2 \beta - \cos ^2 \phi^\prime }}{\cos \beta - \sqrt{ \cos ^2 \beta - \cos ^2 \phi^\prime }}$$

in cui:

• $\beta$ è l'inclinazione del paramento del muro rispetto alla verticale;
• $\phi^\prime$ è l'angolo di attrito interno del terreno in condizioni drenate.

Tali espressioni possono essere ricavate sia applicando il teorema cinematico che il teorema statico dell'analisi plastica, dimostrando così la loro esattezza formale. Però il trascurare l'effetto dell'attrito tra il terreno ed il muro determina una stima in eccesso dell'azione del terreno.

Estendendo la teoria di Rankine, nell'ipotesti di superfici di rottura piane, Coulomb ottenne

$$K_a = \frac{cos^2(\phi ' - \beta)}{cos^2 \beta \cdot cos (\delta + \beta)\cdot \left[ 1+ \sqrt{\frac{sin(\delta + \phi ') \cdot sin(\phi ' - i)}{cos (\delta + \beta) \cdot cos(i - \beta)}} \right]^2}$$

$$K_p = \frac{cos^2(\phi ' + \beta)}{cos^2 \beta \cdot cos (\delta - \beta)\cdot \left[ 1- \sqrt{\frac{sin(\delta + \phi ') \cdot sin(\phi ' + i)}{cos (\delta - \beta) \cdot cos(i - \beta)}} \right]^2}$$

in cui:

• $\beta$ è l'inclinazione del paramento del muro rispetto alla verticale;
• $\delta$ è l'angolo di attrito tra muro e terreno;
• $i$ è l'inclinazione del piano campagna rispetto all'orizzontale;
• $\phi^\prime$ è l'angolo di attrito interno del terreno in condizioni drenate.

Tali formule possono essere ricavate applicando il teorema cinematico dell'analisi plastica.

Applicando il teorema statico dell'analisi plastica, Lancellotta ci fornisce i seguenti valori dei coefficienti di spinta (2002 LANCELLOTTA R., Analytical solution of Passive Earth Pressure, GEOTECHNIQUE, 2002, Vol. 52 No.8, pagine da 617 a 619, ISSN: 0016-8505)

$$K_A = \left[ \frac{\cos \delta}{1 + \sin \phi^\prime} \left( \cos \delta - \sqrt{ sin^2 \phi^\prime - sin^2 \delta }\right) \right] e^{-2 \theta_A \tan \phi^\prime}$$

in cui

$$ \theta_A = \arcsin \left( \frac{\sin \delta}{\sin \phi^\prime} \right) - \delta$$

$$K_P = \left[ \frac{\cos \delta}{1 - \sin \phi^\prime} \left( \cos \delta + \sqrt{ sin^2 \phi^\prime - sin^2 \delta }\right) \right] e^{2 \theta_P \tan \phi^\prime}$$

con

$$ \theta_P = \arcsin \left( \frac{\sin \delta}{\sin \phi^\prime} \right) + \delta$$

La formule di Rankine portano ad una sovrastima delle azioni esercitate dal terreno, le formule di Lancellotta portano invece ad una loro sottostima.

Considerando che di solito l'azione destabilizzante è costituita dalla spinta attiva, mentre la spinta passiva svolge un'azione stabilizzante, operando a favore di sicurezza è opportuno calcolare la spinta attiva con l'espressione

$$K_A = \frac{1-\sin \phi^\prime}{1+\sin \phi^\prime} = \tan^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\phi^\prime}{2} \right)$$

e la spinta passiva con l'espressione

$$K_P = \left[ \frac{\cos \delta}{1 - \sin \phi^\prime} \left( \cos \delta + \sqrt{ sin^2 \phi^\prime - sin^2 \delta }\right) \right] e^{2 \theta_p \tan \phi^\prime}$$

in cui

$$ \theta_P = \arcsin \left( \frac{\sin \delta}{\sin \phi^\prime} \right) + \delta$$

$$ K_{AE} = \frac{\cos^2(\phi^\prime - \beta - \theta)}{ \cos \theta \cdot \cos^2 \beta \cdot \cos(\beta+\delta+\theta) \cdot \left( 1 + \sqrt{\frac{\sin(\phi^\prime+\delta) \cdot \sin(\phi^\prime-\theta-i)}{\cos(\delta+\beta+\theta) \cdot \cos(i-\beta)} }\right)^2} $$

$$ K_{PE} = \frac{\cos^2(\phi^\prime + \beta - \theta)}{ \cos \theta \cdot \cos^2 \beta \cdot \cos(\delta - \beta +\theta) \cdot \left( 1 - \sqrt{\frac{\sin(\phi^\prime+\delta) \cdot \sin(\phi^\prime-\theta+i)}{\cos(\delta-\beta+\theta) \cdot \cos(i-\beta)} }\right)^2} $$

$$ \theta = \frac{W \cdot k_h}{W \pm k_v \cdot W} = \frac{k_h}{1 \pm k_v}$$

in cui:

• $\beta$ è l'inclinazione del paramento del muro rispetto alla verticale;
• $\delta$ è l'angolo di attrito tra muro e terreno;
• $i$ è l'inclinazione del piano campagna rispetto all'orizzontale;
• $\phi^\prime$ è l'angolo di attrito interno del terreno in condizioni drenate.