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@@ Linea 1: / Linea 1: @@
 ====== Calcolo di paratie per il sostegno degli scavi ======
-===== Metodo convenzionale di calcolo delle paratie a sbalzo =====
+===== Metodo convenzionale di calcolo paratie a sbalzo =====
 ==== Metodo generale ====
@@ Linea 51: / Linea 51: @@
 \Longrightarrow \left( k_p - k_a \right) \gamma_t \, x^3 - 3 k_a \left( q + \gamma_t \, h \right) \, x^2 - 3 k_a \left( \gamma_t \, h^2 + 2 q \, h \right) x - 3 k_a \, q \, h^2 - k_a \gamma_t \, h^3 = 0 $$
-==== Rigidezza cordolo di sommità ====
-$$\mathrm{d}\eta = \frac{1}{48} \frac{1}{E \, J} {\mathrm{d}F \, l^3} \\
+===== Metodo convenzionale di calcolo di paratie vincolate in sommità =====
-\Longrightarrow \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\eta} = 48 \, \frac{E \, J}{l^3} $$
-$$\eta = \frac{5}{384} \frac{1}{E \, J} {q \, l^4} \\
+=== Equilibrio a rotazione attorno alla sommità ===
-\Longrightarrow \frac{q}{\eta} = \frac{384}{5} \frac{E \, J}{l^4} $$
+Per calcolare l'approfondimento della paratie imponiamo l'equilibrio a rotazione del sistema, valutato rispetto al punto sommitale della paratia
-==== Integrali ====
+$$M_{a} = \left( \frac{1}{2} k_a \, \gamma_t \, x \right) \frac{2}{3} x + k_a \, q \, \frac{x}{2} = \frac{k_a}{3} \gamma_t \, x^2 + \frac{k_a}{2} \, q \, x $$
-=== Funzione costante ===
+$$M_{p} = \frac{1}{2} k_p \, \gamma_t \left( x - H \right) \left[ H + \frac{2}{3} \left( x - H \right) \right] =
+\frac{k_p}{2} \gamma_t \left( x - H \right) \left( \frac{H}{3} + \frac{2}{3} x \right) =
+\frac{k_p}{2} \gamma_t \left( \frac{2}{3} x^2 - \frac{H}{3} x - \frac{H^2}{3} \right) = \\
+= \frac{k_p}{3} \gamma_t \, x^2 - \frac{k_p}{6} \gamma_t \, H \, x - \frac{k_p}{6} \gamma_t \, H^2 $$
-Consideriamo una funzione costante
+Uguagliando le due espressioni otteniamo
-$$f \left( s \right) = f_0$$
+$$\frac{k_p - k_a }{3} \gamma_t \, x^2 - \left( \frac{k_p}{6} \gamma_t \, H + \frac{k_a}{2} \, q \right)  x - \frac{k_p}{6} \gamma_t \, H^2 = 0 \Longrightarrow \\
+\Longrightarrow 2 \left( k_p - k_a \right) \gamma_t \, x^2 - \left( k_p \gamma_t \, H + 3 k_a \, q \right)  x - k_p \, \gamma_t \, H^2 = 0 \Longrightarrow \\
-Calcoliamo i seguenti integrali definiti nell'intervallo $\left[ 0, \Delta s \right]$
+\Longrightarrow
+x = \frac{\left( k_p \gamma_t \, H + 3 k_a \, q \right) + \sqrt{\left( k_p \gamma_t \, H + 3 k_a \, q \right)^2 + 8 \left( k_p - k_a \right) k_p \, \gamma_t^2 \, H^2 } }
-$$\int \limits_0^{\Delta s} f_0 \; \mathrm{d} s = f_0 \, \Delta s $$
+{4 \left( k_p - k_a \right) \gamma_t} \Longrightarrow \\
+\Longrightarrow
-$$\int \limits_0^{\Delta s} f_0 \, s \; \mathrm{d} s = \frac{f_0}{2} \Delta s^2 $$
+x = \frac{ k_p \gamma_t \, H + 3 k_a \, q + \sqrt{ 9 k_p^2 \gamma_t^2 \, H^2 + 2 k_p \, k_a \left( 3 q \, \gamma_t \, H - 4 \gamma_t^2 \, H^2 \right) + 9 k_a^2 \, q^2 } }
+{4 \left( k_p - k_a \right) \gamma_t} $$
-=== Funzione lineare ===
-Costruiamo una funzione lineare di modo che sia
-$$f \left( 0 \right) = f_1$$
-e
-$$f \left( \Delta s \right) = f_2$$
-La funzione ricercata ha la forma
-$$f\left(s\right) = f_1 + \frac{f_2 - f_1}{\Delta s} s$$
-Passiamo al calcolo dei relativi integrali nell'intervallo $\left[ 0, \Delta s \right]$
-$$\int \limits_0^{\Delta s} \left( f_1 + \frac{f_2 - f_1}{\Delta s} s \right) \; \mathrm{d} s = \frac{ f_1 \, + f_2 }{2} \Delta s $$
-$$\int \limits_0^{\Delta s} \left( f_1 + \frac{f_2 - f_1}{\Delta s} s \right) s \; \mathrm{d} s = \frac{f_1}{2} \Delta s^2 + \frac{f_2 - f_1}{3} \Delta s^2 = \frac{ f_1 + 2 f_2 }{6} \Delta s^2 $$
-===== Metodo convenzionale di calcolo delle paratie vincolate in sommità =====

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