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geotecnica:paratie_sostegno_scavi_calcolo

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Calcolo di paratie per il sostegno degli scavi

Metodo convenzionale di calcolo delle paratie a sbalzo

Metodo generale

Equilibrio a traslazione

$$R_{M,a} = \frac{1}{2} k_a \, \gamma_t \left( h + x \right)^2 + k_a \, q \, \left( h + x \right) $$

$$R_{M,p} = \frac{1}{2} k_p \, \gamma_t \left( 2 h + 2 x + y \right) y + k_p \, q \, y $$

$$R_{V,p} = \frac{1}{2} k_p \, \gamma_t \, x^2$$

$$R_{V,a} = \frac{1}{2} k_a \, \gamma_t \left( 2 x + y \right) y $$

$$ R_{V,a} + R_{V,p} - R_{M,a} - R_{M,p} = 0 $$

Equilibrio a rotazione attorno a punto a distanza x dal fondo scavo

$$M_{M,a} = \frac{1}{6} k_a \, \gamma_t \left( h + x \right)^3 + \frac{1}{2} k_a \, q \, \left( h + x \right)^2 $$

$$M_{M,p} = \frac{1}{6} k_p \, \gamma_t \left( 3 h + 3 x + 2 y \right) y^2 + \frac{1}{2} k_p \, q \, y^2 $$

$$M_{V,p} = \frac{1}{6} k_p \, \gamma_t \, x^3$$

$$M_{V,a} = \frac{1}{6} k_p \, \gamma_t \left[ x + 2 \left( x + y \right) \right] y^2 = \frac{1}{6} k_p \, \gamma_t \left( 3 x + 2 y \right) y^2 $$

$$ M_{V,a} - M_{V,p} + M_{M,a} - M_{M,p} = 0 $$

Soluzione del sistema

Dobbiamo risolvere il sistema

$$ \begin{cases} R_{V,a} + R_{V,p} - R_{M,a} - R_{M,p} = 0 \\ M_{V,a} - M_{V,p} + M_{M,a} - M_{M,p} = 0 \end{cases} $$

E' un sistema non lineare nelle due variabili $x$ e $y$ che possiamo risolvere per via numerica usando, ad esempio la Gnu Scientific Library.

Metodo semplificato

Il metodo semplificato consiste nell'analizzare il solo equilibrio a rotazione rispetto ad un punto posto ad una distanza x dal fondo scavo, trascurando il contributo della spinta attiva da valle e di quella passiva da monte. Quest'ultima ipotesi nasce dalla considerazione che il contributo di tali forze all'equilibrio a rotazione e trascurabile considerando che il relativo braccio di leva è molto piccolo.

In questo modo scriviamo

$$\frac{k_p}{6} \gamma_t \, x^3 - \frac{k_a}{6} \gamma_t \, \left( h + x \right)^3 - \frac{k_a}{2} \, q \left( h + x \right)^2 = 0 \\ \Longrightarrow k_p \gamma_t \, x^3 - k_a \gamma_t \, \left( h^3 + 3 h^2 \, x + 3 h \, x^2 + x^3 \right) - 3 k_a \, q \left( h^2 + 2 h \, x + x^2 \right) = 0 \\ \Longrightarrow \left( k_p - k_a \right) \gamma_t \, x^3 - 3 k_a \left( q + \gamma_t \, h \right) \, x^2 - 3 k_a \left( \gamma_t \, h^2 + 2 q \, h \right) x - 3 k_a \, q \, h^2 - k_a \gamma_t \, h^3 = 0 $$

Rigidezza cordolo di sommità

$$\mathrm{d}\eta = \frac{1}{48} \frac{1}{E \, J} {\mathrm{d}F \, l^3} \\ \Longrightarrow \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\eta} = 48 \, \frac{E \, J}{l^3} $$

$$\eta = \frac{5}{384} \frac{1}{E \, J} {q \, l^4} \\ \Longrightarrow \frac{q}{\eta} = \frac{384}{5} \frac{E \, J}{l^4} $$

Integrali

Funzione costante

Consideriamo una funzione costante

$$f \left( s \right) = f_0$$

Calcoliamo i seguenti integrali definiti nell'intervallo $\left[ 0, \Delta s \right]$

$$\int \limits_0^{\Delta s} f_0 \; \mathrm{d} s = f_0 \, \Delta s $$

$$\int \limits_0^{\Delta s} f_0 \, s \; \mathrm{d} s = \frac{f_0}{2} \Delta s^2 $$

Funzione lineare

Costruiamo una funzione lineare di modo che sia

$$f \left( 0 \right) = f_1$$

e

$$f \left( \Delta s \right) = f_2$$

La funzione ricercata ha la forma

$$f\left(s\right) = f_1 + \frac{f_2 - f_1}{\Delta s} s$$

Passiamo al calcolo dei relativi integrali nell'intervallo $\left[ 0, \Delta s \right]$

$$\int \limits_0^{\Delta s} \left( f_1 + \frac{f_2 - f_1}{\Delta s} s \right) \; \mathrm{d} s = \frac{ f_1 \, + f_2 }{2} \Delta s $$

$$\int \limits_0^{\Delta s} \left( f_1 + \frac{f_2 - f_1}{\Delta s} s \right) s \; \mathrm{d} s = \frac{f_1}{2} \Delta s^2 + \frac{f_2 - f_1}{3} \Delta s^2 = \frac{ f_1 + 2 f_2 }{6} \Delta s^2 $$

Metodo convenzionale di calcolo delle paratie vincolate in sommità


geotecnica/paratie_sostegno_scavi_calcolo.1536650189.txt.gz · Ultima modifica: 2021/06/13 13:08 (modifica esterna)

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