====== Calcolo di paratie per il sostegno degli scavi ======

===== Metodo convenzionale di calcolo paratie a sbalzo =====

==== Metodo generale ====

=== Equilibrio a traslazione ===
 
$$R_{M,a} = \frac{1}{2} k_a \, \gamma_t \left( h + x \right)^2 + k_a \, q \, \left( h + x \right) $$

$$R_{M,p} = \frac{1}{2} k_p \, \gamma_t \left( 2 h + 2 x + y \right) y + k_p \, q \, y $$

$$R_{V,p} = \frac{1}{2} k_p \, \gamma_t \, x^2$$

$$R_{V,a} = \frac{1}{2} k_a \, \gamma_t \left( 2 x + y \right) y $$

$$ R_{V,a} + R_{V,p} - R_{M,a} - R_{M,p} = 0 $$

=== Equilibrio a rotazione attorno a punto a distanza x dal fondo scavo ===

$$M_{M,a} = \frac{1}{6} k_a \, \gamma_t \left( h + x \right)^3 + \frac{1}{2} k_a \, q \, \left( h + x \right)^2 $$

$$M_{M,p} = \frac{1}{6} k_p \, \gamma_t \left( 3 h + 3 x + 2 y \right) y^2 + \frac{1}{2} k_p \, q \, y^2 $$

$$M_{V,p} = \frac{1}{6} k_p \, \gamma_t \, x^3$$

$$M_{V,a} = \frac{1}{6} k_p \, \gamma_t \left[ x + 2 \left( x + y \right) \right] y^2 = \frac{1}{6} k_p \, \gamma_t \left( 3 x + 2 y \right) y^2 $$

$$ M_{V,a} - M_{V,p} + M_{M,a} - M_{M,p} = 0 $$

=== Soluzione del sistema ===

Dobbiamo risolvere il sistema

$$
\begin{cases} 
    R_{V,a} + R_{V,p} - R_{M,a} - R_{M,p} = 0 \\
    M_{V,a} - M_{V,p} + M_{M,a} - M_{M,p} = 0
\end{cases}
$$

E' un sistema non lineare nelle due variabili $x$ e $y$ che possiamo risolvere per via numerica usando, ad esempio la [[https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Multidimensional-Root_002dFinding.html|Gnu Scientific Library]].
==== Metodo semplificato ====

Il metodo semplificato consiste nell'analizzare il solo equilibrio a rotazione rispetto ad un punto posto ad una distanza x dal fondo scavo, trascurando il contributo della spinta attiva da valle e di quella passiva da monte. Quest'ultima ipotesi nasce dalla considerazione che il contributo di tali forze all'equilibrio a rotazione e trascurabile considerando che il relativo braccio di leva è molto piccolo.

In questo modo scriviamo

$$\frac{k_p}{6} \gamma_t \, x^3 - \frac{k_a}{6} \gamma_t \, \left( h + x \right)^3 - \frac{k_a}{2} \, q \left( h + x \right)^2 = 0 \\
\Longrightarrow k_p \gamma_t \, x^3 - k_a \gamma_t \, \left( h^3 + 3 h^2 \, x + 3 h \, x^2 + x^3 \right) - 3 k_a \, q \left( h^2 + 2 h \, x + x^2 \right) = 0 \\
\Longrightarrow \left( k_p - k_a \right) \gamma_t \, x^3 - 3 k_a \left( q + \gamma_t \, h \right) \, x^2 - 3 k_a \left( \gamma_t \, h^2 + 2 q \, h \right) x - 3 k_a \, q \, h^2 - k_a \gamma_t \, h^3 = 0 $$


===== Metodo convenzionale di calcolo di paratie vincolate in sommità =====

=== Equilibrio a rotazione attorno alla sommità ===

Per calcolare l'approfondimento della paratie imponiamo l'equilibrio a rotazione del sistema, valutato rispetto al punto sommitale della paratia

$$M_{a} = \left( \frac{1}{2} k_a \, \gamma_t \, x \right) \frac{2}{3} x + k_a \, q \, \frac{x}{2} = \frac{k_a}{3} \gamma_t \, x^2 + \frac{k_a}{2} \, q \, x $$

$$M_{p} = \frac{1}{2} k_p \, \gamma_t \left( x - H \right) \left[ H + \frac{2}{3} \left( x - H \right) \right] =
\frac{k_p}{2} \gamma_t \left( x - H \right) \left( \frac{H}{3} + \frac{2}{3} x \right) = 
\frac{k_p}{2} \gamma_t \left( \frac{2}{3} x^2 - \frac{H}{3} x - \frac{H^2}{3} \right) = \\
= \frac{k_p}{3} \gamma_t \, x^2 - \frac{k_p}{6} \gamma_t \, H \, x - \frac{k_p}{6} \gamma_t \, H^2 $$

Uguagliando le due espressioni otteniamo

$$\frac{k_p - k_a }{3} \gamma_t \, x^2 - \left( \frac{k_p}{6} \gamma_t \, H + \frac{k_a}{2} \, q \right)  x - \frac{k_p}{6} \gamma_t \, H^2 = 0 \Longrightarrow \\
\Longrightarrow 2 \left( k_p - k_a \right) \gamma_t \, x^2 - \left( k_p \gamma_t \, H + 3 k_a \, q \right)  x - k_p \, \gamma_t \, H^2 = 0 \Longrightarrow \\
\Longrightarrow 
x = \frac{\left( k_p \gamma_t \, H + 3 k_a \, q \right) + \sqrt{\left( k_p \gamma_t \, H + 3 k_a \, q \right)^2 + 8 \left( k_p - k_a \right) k_p \, \gamma_t^2 \, H^2 } }
{4 \left( k_p - k_a \right) \gamma_t} \Longrightarrow \\
\Longrightarrow 
x = \frac{ k_p \gamma_t \, H + 3 k_a \, q + \sqrt{ 9 k_p^2 \gamma_t^2 \, H^2 + 2 k_p \, k_a \left( 3 q \, \gamma_t \, H - 4 \gamma_t^2 \, H^2 \right) + 9 k_a^2 \, q^2 } }
{4 \left( k_p - k_a \right) \gamma_t} $$