Differenze

Queste sono le differenze tra la revisione selezionata e la versione attuale della pagina.

--- geotecnica:paratie_sostegno_scavi_calcolo [2018/09/11 09:21]
mickele [Metodo convenzionale di calcolo delle paratie vincolate in sommità]
+++ geotecnica:paratie_sostegno_scavi_calcolo [2021/06/13 13:08]
@@ Linea 1: / Linea 1: @@
-====== Calcolo di paratie per il sostegno degli scavi ======
-===== Metodo convenzionale di calcolo delle paratie a sbalzo =====
-==== Metodo generale ====
-=== Equilibrio a traslazione ===
-$$R_{M,a} = \frac{1}{2} k_a \, \gamma_t \left( h + x \right)^2 + k_a \, q \, \left( h + x \right) $$
-$$R_{M,p} = \frac{1}{2} k_p \, \gamma_t \left( 2 h + 2 x + y \right) y + k_p \, q \, y $$
-$$R_{V,p} = \frac{1}{2} k_p \, \gamma_t \, x^2$$
-$$R_{V,a} = \frac{1}{2} k_a \, \gamma_t \left( 2 x + y \right) y $$
-$$ R_{V,a} + R_{V,p} - R_{M,a} - R_{M,p} = 0 $$
-=== Equilibrio a rotazione attorno a punto a distanza x dal fondo scavo ===
-$$M_{M,a} = \frac{1}{6} k_a \, \gamma_t \left( h + x \right)^3 + \frac{1}{2} k_a \, q \, \left( h + x \right)^2 $$
-$$M_{M,p} = \frac{1}{6} k_p \, \gamma_t \left( 3 h + 3 x + 2 y \right) y^2 + \frac{1}{2} k_p \, q \, y^2 $$
-$$M_{V,p} = \frac{1}{6} k_p \, \gamma_t \, x^3$$
-$$M_{V,a} = \frac{1}{6} k_p \, \gamma_t \left[ x + 2 \left( x + y \right) \right] y^2 = \frac{1}{6} k_p \, \gamma_t \left( 3 x + 2 y \right) y^2 $$
-$$ M_{V,a} - M_{V,p} + M_{M,a} - M_{M,p} = 0 $$
-=== Soluzione del sistema ===
-Dobbiamo risolvere il sistema
-$$
-\begin{cases}
-    R_{V,a} + R_{V,p} - R_{M,a} - R_{M,p} = 0 \\
-    M_{V,a} - M_{V,p} + M_{M,a} - M_{M,p} = 0
-\end{cases}
-$$
-E' un sistema non lineare nelle due variabili $x$ e $y$ che possiamo risolvere per via numerica usando, ad esempio la [[https://www.gnu.org/software/gsl/manual/html_node/Multidimensional-Root_002dFinding.html|Gnu Scientific Library]].
-==== Metodo semplificato ====
-Il metodo semplificato consiste nell'analizzare il solo equilibrio a rotazione rispetto ad un punto posto ad una distanza x dal fondo scavo, trascurando il contributo della spinta attiva da valle e di quella passiva da monte. Quest'ultima ipotesi nasce dalla considerazione che il contributo di tali forze all'equilibrio a rotazione e trascurabile considerando che il relativo braccio di leva è molto piccolo.
-In questo modo scriviamo
-$$\frac{k_p}{6} \gamma_t \, x^3 - \frac{k_a}{6} \gamma_t \, \left( h + x \right)^3 - \frac{k_a}{2} \, q \left( h + x \right)^2 = 0 \\
-\Longrightarrow k_p \gamma_t \, x^3 - k_a \gamma_t \, \left( h^3 + 3 h^2 \, x + 3 h \, x^2 + x^3 \right) - 3 k_a \, q \left( h^2 + 2 h \, x + x^2 \right) = 0 \\
-\Longrightarrow \left( k_p - k_a \right) \gamma_t \, x^3 - 3 k_a \left( q + \gamma_t \, h \right) \, x^2 - 3 k_a \left( \gamma_t \, h^2 + 2 q \, h \right) x - 3 k_a \, q \, h^2 - k_a \gamma_t \, h^3 = 0 $$
-==== Rigidezza cordolo di sommità ====
-$$\mathrm{d}\eta = \frac{1}{48} \frac{1}{E \, J} {\mathrm{d}F \, l^3} \\
-\Longrightarrow \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}\eta} = 48 \, \frac{E \, J}{l^3} $$
-$$\eta = \frac{5}{384} \frac{1}{E \, J} {q \, l^4} \\
-\Longrightarrow \frac{q}{\eta} = \frac{384}{5} \frac{E \, J}{l^4} $$
-==== Integrali ====
-=== Funzione costante ===
-Consideriamo una funzione costante
-$$f \left( s \right) = f_0$$
-Calcoliamo i seguenti integrali definiti nell'intervallo $\left[ 0, \Delta s \right]$
-$$\int \limits_0^{\Delta s} f_0 \; \mathrm{d} s = f_0 \, \Delta s $$
-$$\int \limits_0^{\Delta s} f_0 \, s \; \mathrm{d} s = \frac{f_0}{2} \Delta s^2 $$
-=== Funzione lineare ===
-Costruiamo una funzione lineare di modo che sia
-$$f \left( 0 \right) = f_1$$
-e
-$$f \left( \Delta s \right) = f_2$$
-La funzione ricercata ha la forma
-$$f\left(s\right) = f_1 + \frac{f_2 - f_1}{\Delta s} s$$
-Passiamo al calcolo dei relativi integrali nell'intervallo $\left[ 0, \Delta s \right]$
-$$\int \limits_0^{\Delta s} \left( f_1 + \frac{f_2 - f_1}{\Delta s} s \right) \; \mathrm{d} s = \frac{ f_1 \, + f_2 }{2} \Delta s $$
-$$\int \limits_0^{\Delta s} \left( f_1 + \frac{f_2 - f_1}{\Delta s} s \right) s \; \mathrm{d} s = \frac{f_1}{2} \Delta s^2 + \frac{f_2 - f_1}{3} \Delta s^2 = \frac{ f_1 + 2 f_2 }{6} \Delta s^2 $$
-===== Metodo convenzionale di calcolo delle paratie vincolate in sommità =====
-=== Equilibrio a rotazione attorno alla sommità ===
-$$M_{a} = \left( \frac{1}{2} k_a \, \gamma_t \, x \right) \frac{2}{3} x + k_a \, q \, \frac{x}{2} = \frac{k_a}{3} \gamma_t \, x^2 + \frac{k_a}{2} \, q \, x $$
-$$R_{M,p} = \frac{1}{2} k_p \, \gamma_t \left( 2 h + 2 x + y \right) y + k_p \, q \, y $$
-$$R_{V,p} = \frac{1}{2} k_p \, \gamma_t \, x^2$$
-$$R_{V,a} = \frac{1}{2} k_a \, \gamma_t \left( 2 x + y \right) y $$
-$$ R_{V,a} + R_{V,p} - R_{M,a} - R_{M,p} = 0 $$

Il wiki di IngegneriaLibera

Strumenti Utente

Strumenti Sito

Differenze

Strumenti Pagina